08矩阵论试题.pdf

### 知识点总结 #### 1. 不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式和Jordan标准形 在题目中给出了一个特定的矩阵 \(A\) 的定义，并要求计算该矩阵的不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式以及Jordan标准形。这些概念都是矩阵论中的重要组成部分，下面将详细解释每个概念。 **不变因子**（Invariant Factors）是指通过Smith正规形理论得到的一组多项式，它们决定了矩阵在一定条件下的等价关系。在这个例子中，不变因子为 \(\delta_1(l) = 1\), \(\delta_2(l) = l - 1\), \(\delta_3(l) = (l - 1)^2\)。 **行列式因子**（Determinantal Divisors）是不变因子的乘积，用来表示矩阵多项式的分解。对于矩阵 \(A\) 来说，其行列式因子为 \(D_1(l) = 1\), \(D_2(l) = l - 1\), \(D_3(l) = (l - 1)^2 + (l - 1)\)。 **初等因子**（Elementary Divisors）是由不变因子进一步分解得到的不可约多项式的幂次，它们可以用于确定矩阵的Jordan块结构。这里给出的初等因子为 \(l - 1\), \(l - 1\), \(l + 1\)。 **最小多项式**（Minimal Polynomial）是最小的多项式，使得矩阵 \(A\) 为其根。在这个例子中，最小多项式为 \(m_A(l) = (l - 1)^2\)。 **Jordan标准形**（Jordan Canonical Form）是一种特殊的对角线或几乎对角线形式的矩阵，它反映了矩阵的结构特性。在这个问题中，矩阵 \(A\) 的Jordan标准形为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] #### 2. Hermite正定矩阵的幂次根 这部分内容涉及了Hermite正定矩阵及其幂次根的存在性证明。Hermite正定矩阵是一类具有特殊性质的矩阵，它们在很多领域都有广泛的应用。题目要求证明对于任意正整数 \(k\)，存在Hermite正定矩阵 \(B\)，使得 \(A = B^k\)。 **证明**：由于 \(A\) 是Hermite正定矩阵，所以它可以被对角化为 \(A = PDP^{-1}\)，其中 \(D\) 是对角矩阵，其对角元素是 \(A\) 的正特征值。根据题目要求构造矩阵 \(B\)，其中 \(B\) 也可以被对角化为 \(B = PD^{1/k}P^{-1}\)，这里 \(D^{1/k}\) 表示 \(D\) 的所有特征值分别取 \(k\) 次根。这样，\(B\) 也必然是Hermite正定矩阵，并且满足 \(A = B^k\)。 #### 3. 向量范数的等价性和矩阵范数的相容性 这部分内容探讨了不同范数之间的等价性以及矩阵范数与向量范数的相容性。 **证明**：首先证明了对于所有向量 \(x\)，向量 \(p\) 范数与 \(∞\) 范数等价。接着，题目要求证明一个新定义的向量范数 \(x'\) 与 \(∞\) 范数等价，并且这个范数与矩阵 \(∞\) 范数相容。 **相容性证明**：相容性是指如果两个向量范数等价，并且向量范数与矩阵范数之间也满足一定的关系，则称这两个范数是相容的。这里的关键在于证明 \(x'\) 范数与矩阵 \(∞\) 范数之间的关系。 #### 4. 矩阵幂级数的敛散性及矩阵指数函数 **敛散性**：矩阵幂级数的敛散性可以通过计算矩阵谱半径来判断。如果矩阵谱半径小于级数的收敛半径，则矩阵幂级数收敛。 **矩阵指数函数**：题目中给出了矩阵 \(A\) 的定义，并要求求解 \(A^t e\)。这里需要用到矩阵的特征值和特征向量来求解 \(A^t e\) 的表达式。具体步骤包括求出矩阵 \(A\) 的特征值和对应的特征向量，然后利用这些信息构造出 \(A^t e\) 的表达式。 以上内容涵盖了矩阵论中的多个核心概念，包括但不限于不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式、Jordan标准形、Hermite正定矩阵、向量范数和矩阵范数的相容性、矩阵幂级数的敛散性以及矩阵指数函数等。这些知识点不仅有助于深入理解矩阵论的基本原理，也为解决实际问题提供了强有力的工具。