本书强调抽象的向量空间和线性映射，内容涉及多项式、本征值、本征向量、内积空间、迹与行列式等，本书在内容编排和处理方法上与国内通行的做法大不相同，它完全抛开行列式，采用更直接、更简捷的方法阐述了向量空间和线性算子的基本理论。书中对一些术语、结论、数学家、证明思想和启示等做了注释，不仅增加了趣味性，还加强了读者对一些概念和思想方法的理解。
本书起点低，无需线性代数方面的预备知识即可学习，非常适合作为教材，另外、本书方法新颖，非常值得相关教师和科研人员参考。
描述线性算子的结构是线性代数的中心任务之一，传统的方法多以行列式为工具，但是行列式既难懂又不直观，其定义的引入也往往缺乏动因。本书作者独辟蹊径，抛弃了这种曲折的思路，把重点放在抽象的向量空间和线性映射上，给出的证明不使用行列式，更显得简单而直观。本书把行列式的内容放在了最后讲解，开辟了一条理解线性算子结构的新途径。书中还对一些术语、结论、证明思路、提及的数学家做了注释，增加了行文的趣味性，便于读者掌握核心概念和思想方法。
本书起点较低，不需要太多预备知识，而且特色鲜明，是公认的阐述线性代数的经典佳作。原书自出版以来，迅速风靡世界，在30多个国家为200多所高校所采用，其中包括斯坦福大学和加大学伯克利分校等著名学府。
本书《应这样学线性代数》（英文版）的介绍，透露出该书在教授线性代数这一学科上采取了与传统教学方法迥异的策略。在传统教学中，线性代数的内容往往围绕着矩阵理论展开，重视行列式的计算与性质，但这种教学方式常常导致学生难以直观理解向量空间和线性变换等核心概念。而本书的作者选择了一条不同的道路，将重点放在了抽象的向量空间和线性映射上，提供了一种不依赖于行列式的新视角来研究线性代数。
在深入讨论之前，我们首先需要了解线性代数的基本知识点。线性代数是数学的一个分支，它研究向量空间（或称为线性空间）和线性映射（也就是线性算子），这些概念是现代数学和物理学的基石。向量空间是由向量构成的集合，这些向量满足若干公理，如加法和标量乘法的封闭性、加法的交换性与结合律等。线性映射则是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，它保持向量加法和标量乘法的操作。
本书内容涵盖了多项式、本征值、本征向量、内积空间、迹与行列式等线性代数的核心主题。在这里，“多项式”指的是可以用来描述向量空间中线性映射的特征和最小多项式。本征值和本征向量是线性算子理论中的重要概念，它们描述了线性算子对向量空间的作用效果。内积空间则是具备了内积结构的向量空间，这使得我们能够引入向量的长度和角度的概念，这对于理解几何直观和进行几何运算尤为重要。而“迹”和“行列式”作为线性代数中衡量线性算子和矩阵特征的重要工具，在这本书中却被推迟到后面讲解。
书中对于一些数学术语、结论、数学家的贡献及证明思想等提供了注释，这样做不仅能增加阅读的趣味性，还能帮助读者加深对概念和方法论的理解。比如，在研究线性映射的章节，书中不仅介绍了线性映射的定义和例子，还讨论了线性映射的零空间和值域，以及线性映射矩阵表示和可逆性等问题。通过这种方式，学生可以在没有大量预备知识的情况下，逐步深入到线性代数的美妙世界。
本书的另一个显著特点，就是它起点低，适合初学者。它从向量空间的定义和性质开始，带领学生逐步认识子空间、维数等概念，并通过线性映射的例子和练习，使学生对这一主题形成直观而全面的理解。书中还介绍了线性算子的结构和谱定理，这是研究线性算子行为的基石。
该书的结构安排也是其教学特色之一。它从最基础的概念出发，逐渐过渡到更高级的主题，如自伴随算子和正规算子的谱定理、在实内积空间上的正规算子、正算子、同构以及极分解和奇异值分解等。所有这些内容都强调了向量空间和线性算子的抽象定义，避免了过度依赖于矩阵运算和行列式，从而使得线性代数的理解更加深入和本质。
值得特别强调的是，这本书不仅适合作为教材，也非常值得教师和研究人员参考。它不仅提供了丰富的知识点，还有助于激发读者对数学的兴趣和探索精神。本书在国际上广受欢迎，被众多著名高校采用，足见其教学理念和内容安排的独到之处。通过这样的教学方式，学生在掌握线性代数的技能的同时，也能够领略到数学思维的美感和内在联系的深刻性。
