高斯牛顿法国外教程

### 高斯牛顿法详解：非线性最小二乘法的应用与算法比较 #### 非线性最小二乘法定义与应用 非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型到数据集的优化技术。其基本目标是通过调整模型参数来最小化残差平方和。在数学上，这可以表示为最小化函数 \(g(x) = \sum_{i=1}^{m} r_i(x)^2 = \|r(x)\|^2\)，其中 \(r_i(x)\) 是关于变量向量 \(x\) 的非线性函数，\(r(x)\) 是一个包含所有残差的向量。 当 \(r(x) = Ax - b\)（即，\(r(x)\) 可以被表示为线性方程组）时，问题退化为线性最小二乘问题，而当 \(r(x)\) 不可简化为线性形式时，问题就变成了非线性最小二乘问题。由于非线性函数的存在，可能有多个局部极小值，找到全局最小值通常是十分困难的。 #### 高斯牛顿法解析 高斯牛顿法是一种解决非线性最小二乘问题的有效方法。该方法基于牛顿法的原理，但在每次迭代中，它不计算目标函数的Hessian矩阵，而是用Jacobian矩阵的转置乘以Jacobian矩阵来近似Hessian矩阵。这种方法减少了计算成本，同时保持了良好的收敛性。 具体而言，高斯牛顿法在每一步迭代中，会求解以下线性系统： \[ (J^TJ)\Delta x = -J^Tr(x), \] 其中，\(J\) 是残差向量 \(r(x)\) 对于参数向量 \(x\) 的Jacobian矩阵，\(\Delta x\) 是参数更新量。一旦找到 \(\Delta x\)，参数向量 \(x\) 就会被更新为 \(x + \Delta x\)。这个过程会重复进行，直到达到某种停止准则，如梯度足够小或迭代次数达到预设值。 #### 与牛顿法的对比 与传统的牛顿法相比，高斯牛顿法的主要优势在于计算效率。牛顿法在每次迭代中都需要计算并求逆Hessian矩阵，这在高维空间中是非常昂贵的。然而，高斯牛顿法通过使用Jacobian矩阵的性质来近似Hessian矩阵，从而大大降低了计算复杂度。 #### 应用案例：电感器模型 考虑一个电感器模型的例子，其中包含50个非线性方程和5个未知变量 \(x_1, ..., x_5\)。为了估计这些变量，我们可以采用两种不同的方法：一种是在对数尺度上最小化平方误差，另一种是在线性尺度上最小化平方误差。 第一种方法将问题转化为线性最小二乘问题，使得求解变得相对简单。而第二种方法则是一个典型的非线性最小二乘问题，可能包含多个局部极小值，因此需要使用迭代方法，如高斯牛顿法，来寻找最优解。 #### 导航中的应用 非线性最小二乘法还广泛应用于导航领域，例如，根据到信标的位置测量距离来估计位置。在这一场景中，实际测量的距离与理论计算的距离之间的差异由范围误差 \(w_i\) 引起。通过最小化这种差异的平方和，可以得到位置的最优估计。 ### 结论 高斯牛顿法作为一种优化技术，在解决非线性最小二乘问题时表现出了高效性和可靠性。无论是复杂的电感器模型还是现实世界中的导航问题，高斯牛顿法都提供了强大的工具来寻找最佳参数设置，从而提高了模型的准确性和预测能力。