八数码问题解决方案基于A*算法
一、问题描述
八数码问题也称为九宫问题，是一种经典的搜索问题。在 3×3 的棋盘上，有八个棋子，每个棋子上标有 1 至 8 的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有一个空格，与空格相邻的棋子可以移到空格中。要解决的问题是：任意给出一个初始状态和一个目标状态，找出一种从初始转变成目标状态的移动棋子步数最少的移动步骤。
二、问题的搜索形式描述
状态：状态描述了 8 个棋子和空位在棋盘的 9 个方格上的分布。
初始状态：任何状态都可以被指定为初始状态。
操作符：用来产生 4 个行动（上下左右移动）。
目标测试：用来检测状态是否能匹配上图的目标布局。
路径费用函数：每一步的费用为 1，因此整个路径的费用是路径中的步数。
三、解决方案介绍
A* 算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。在几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值。这样估价函数 f 在 g 值一定的情况下，会或多或少的受估价值 h 的制约，节点距目标点近，h 值小，f 值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。
四、算法伪代码
创建两个表，OPEN 表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED 表中记录已访问过的节点。算起点的估价值，将起点放入 OPEN 表。然后，重复以下步骤：
1. 从 OPEN 表中取估价值 f 最小的节点 n；
2. 如果 n 节点是目标节点，则跳出循环；
3. 对于当前节点 n 的每个子节点 X：
* 算 X 的估价值；
* 如果 X 在 OPEN 表中，并且 X 的估价值小于 OPEN 表的估价值，则更新 OPEN 表中的估价值；
* 如果 X 在 CLOSED 表中，并且 X 的估价值小于 CLOSED 表的估价值，则更新 CLOSED 表中的估价值，并将 X 节点放入 OPEN 表中；
* 如果 X 不在 OPEN 和 CLOSED 表中，则将 n 设置为 X 的父亲，并将 X 节点插入 OPEN 表中；
4. 将 n 节点插入 CLOSED 表中，并按照估价值将 OPEN 表中的节点排序。
5. 重复步骤 1-4，直到 OPEN 表为空。
五、源程序
源程序使用 C++ 语言，实现了 A* 算法解决八数码问题的搜索过程。程序定义了 Node 结构体，用于存储节点的信息，包括数字、距离、深度和索引值。程序还定义了 isEmptyOfOPEN() 函数，用于判断 OPEN 表是否为空，及 isEqual() 函数，用于判断节点是否与索引值指向的节点相同。程序使用 operator<< 运算符输出节点信息。
知识点：
1. 八数码问题是指在 3×3 的棋盘上，将八个棋子和一个空格移动到目标状态的最少步数问题。
2. A* 算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法，可以应用于八数码问题。
3. 估价值函数 f 是 A* 算法的核心，用于评估节点的优先级。
4. OPEN 表和 CLOSED 表是 A* 算法的重要数据结构，用于存储已生成的节点和已访问的节点。
5. A* 算法的伪代码实现了搜索过程，包括取估价值最小的节点、更新估价值、排序 OPEN 表等步骤。
6. 源程序使用 C++ 语言，实现了 A* 算法解决八数码问题的搜索过程。
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