最多约数问题 代码设a 和b是2 个正整数，a≤b，找出a 和b之间约数个数最多的数x。

问题描述： 正整数X 的约数是能整除x 的正整数。正整数x的约数个数记为div(x)。例如，1，2，5，10 都是正整数10的约数，且div(10)=4。设a 和b是2 个正整数，a≤b，找出a 和b之间约数个数最多的数x。 算法设计： 对于给定的2 个正整数a <= b 计算a 和b之间约数个数最多的数。 可以保证a和b都不超过2000000. 数据输入： 输入数据有2个正整数a和b。 结果输出: 若找到的a 和b之间约数个数最多的数是x，将div(x)输出。 Sample Input 1 36 Sample Output 9 根据给定的文件信息，本篇文章将详细解析“最多约数问题”的背景、算法设计思路以及具体的实现细节。 ### 一、问题背景与定义 在数学领域，一个正整数 \( x \) 的约数是指能够整除 \( x \) 的所有正整数。例如，数字 \( 10 \) 的约数包括 \( 1, 2, 5, 10 \)，因此 \( div(10) = 4 \)。在这里，\( div(x) \) 表示正整数 \( x \) 的约数个数。题目要求，在给定的两个正整数 \( a \) 和 \( b \)（其中 \( a \leq b \)）之间，找到一个数 \( x \)，使得该数的约数个数最多。 具体来说，我们需要编写一个程序，其输入为两个正整数 \( a \) 和 \( b \)，输出为在 \( a \) 和 \( b \) 之间约数个数最多的那个数的约数个数 \( div(x) \)。 ### 二、算法设计 #### 2.1 算法思路 解决这个问题的关键在于如何高效地计算出每个数的约数个数，并从中找出最大值。考虑到 \( a \) 和 \( b \) 的范围都不会超过 \( 2,000,000 \)，我们可以考虑使用预处理的方式，先计算出每个数的约数个数，然后对指定区间内的数进行遍历即可。 #### 2.2 具体步骤 1. **初始化**：首先创建一个数组 `num[]` 来存储每个数的约数个数。数组大小设置为 \( 2,000,000 \)。 2. **预处理**：遍历每个数 \( i \)（\( 1 \leq i < 2,000,000 \)），并将 \( i \) 添加到它所有的倍数 \( j \)（\( j = i, 2i, 3i, ... \)）的约数个数中。即每次增加 \( i \) 时，更新 `num[j]++`。 3. **查询处理**：对于每组输入 \( a, b \)，遍历区间 \( [a, b] \)，找到约数个数最多的数 \( x \)，并输出 \( div(x) \)。 ### 三、代码实现 以下是一个基于上述算法思路的 C++ 实现示例： ```cpp #include<iostream> using namespace std; int num[2000000]; int main() { int i, j; int a, b; memset(num, 0, sizeof(num)); // 预处理阶段 for (i = 1; i < 2000000; i++) { for (j = i; j < 2000000; j += i) { num[j]++; } } while (2 == scanf("%d%d", &a, &b)) { int maxDiv = 0; // 查询处理阶段 for (i = a; i <= b; i++) { if (maxDiv < num[i]) { maxDiv = num[i]; } } printf("%d\n", maxDiv); } return 0; } ``` ### 四、复杂度分析 - **时间复杂度**：预处理阶段的时间复杂度约为 \( O(n\log n) \)，查询处理阶段的时间复杂度为 \( O(b - a + 1) \)。 - **空间复杂度**：主要消耗的空间为用于存储约数个数的数组 `num[]`，其空间复杂度为 \( O(n) \)。 通过以上分析可以看出，此算法能够在较大的数范围内快速解决问题，同时也具有较好的可扩展性。