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二维波动方程的有限差分法.zip_二维波动_二维波动方程_差分方程_波动方程_波动方程差分

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二维波动方程的有限差分法，与解析解进行了误差比对

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学生实验报告

实验课程名称偏微分方程数值解

开课实验室数统学院

学院数统年级 2013 专业班信计 02 班

学生姓名学号

开课时间 2015 至 2016 学年第 2 学期

总成绩

教师签名

数学与统计学院制

开课学院、实验室：数统学院实验时间： 2016 年 6 月 20 日

实验项目类型

实验项目

名称

二维波动方程的有限差分法

验证

演示

综合

设计

其他

指导教师

曾芳

成绩

是

一．实验目的

通过该实验，要求学生掌握求解二维波动方程的有限差分法，并能通过计算机语言编程

实现。

二．实验内容

考虑如下的初值问题：

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]

2 2 2

, , 0,1 , 0,1.4

, , 0 sin sin , , , 0 0, , 0,1

, , 0, , , 0,1.4

u u u

x y t

t x y

u x y x y u x y x y

u x y t x y t

p p

¶ ¶ ¶

= + Î W = Î

¶ ¶ ¶

= = Î

= Î ¶W Î

(1)

1．在第三部分写出问题（1）三层显格式。

2．根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。

3．取

0.1, 0.1h h

= =

，分别将

0.5,1.0,1.4t =

时刻的数值解画图显示。

4. 该问题的解析解为

( )

, , t cos 2 sin sinu x y t x y

p p p

，将四个时刻的数值解的误差画图显示，

对数值结果进行简单的讨论。

三．实验原理、方法（算法）、步骤

网格划分

0.1, 0.1h h

= =

，故

1 1.4

10, 140N M

= = = =

，

, , , 0,1, ,10

i j

x ih y jh i j= = = L

，

t k

，

0,1, ,140k = L

。在内网点

( )

, ,

i j k

x y t

，利用二阶中心差商，对（1）建立差分格式：

1 1

, , , 1, , 1, , 1 , , 1

2 2 2

k k k k k k k k k

i j i j i j i j i j i j i j i j i j

u u u u u u u u u

h h

+ -

+ - + -

- + - + - +

= +

（2）

整理得到：

( ) ( )

1 2 2 1

, 1, 1, , 1 , 1 , ,

2 4

k k k k k k k

i j i j i j i j i j i j i j

u r u u u u r u u

+ -

+ - + -

= + + + + - -

（3）

其中，

, 1, 2, ,9, 1, 2, ,139i j k= =L L

，网比

0.1r

= =

，局部截断误差为

( )

2 2

o h

。

考虑边界条件

( ) ( )

[ ]

, , 0, , , 0,1.4u x y t x y t= Î ¶W Î

，差分格式为：

0,0 0,N ,0 ,

0, 0,1, ,140

k k k k

N N N

u u u u k= = = = = L

（4）

考虑初始条件

( )

, , 0 sin sinu x y x y

p p

，差分格式为：

( )

( ) ( )

sin sin sin sin , , 0,1, ,10

i j i j

u x y ih jh i j

p p p p

= = = L

（5）

考虑初始条件

( ) ( ) ( )

, , 0 0, , 0,1

u x y x y= Î

，利用二阶差商近似：

1 1

, ,

0, , 0,1, ,10

i j i j

u u

i j

= = L

（6）

设

0k =

时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：

( ) ( )

1 2 0 0 0 0 2 0 1

, 1, 1, , 1 , 1 , ,

2 4

i j i j i j i j i j i j i j

u r u u u u r u u

+ - + -

= + + + + - -

（7）

将（6）得到的结果

1 1

, ,i j i j

u u

代入（7）中，整理得到：

( ) ( )

1 2 0 0 0 0 2 0

, 1, 1, , 1 , 1 ,

1 2

i j i j i j i j i j i j

u r u u u u r u

+ - + -

= + + + + -

（8）

综上（2）、（4）、（5）、（8）得到三层显格式的差分格式为：

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2 2 1

, 1, 1, , 1 , 1 , ,

0,0 0,N ,0 ,

1 2 0 0 0

, 1, 1, , 1

2 4

, 1, 2, ,9, 1, 2, ,139

0, 0,1, ,140

sin sin sin sin , , 0,1, ,10

k k k k k k k

i j i j i j i j i j i j i j

k k k k

N N N

i j i j

i j i j i j i j i

u r u u u u r u u

i j k

u u u u k

u x y ih jh i j

u r u u u u

p p p p

+ -

+ - + -

+ - +

= + + + + - -

= =

= = = = =

= = =

= + + +

L L

( ) ( )

0 2 0

, 1 ,

1 2 , , 0,1, ,10

j i j

r u i j

+ - =

（9）

其中

0.1r

= =

，局部截断误差为

( )

2 2

o h

。

四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件

Matlab

%二维波动方程数值计算（关键：怎么运用 i,j,k 三个指标建立循环）

clc;

%可以将代码换成函数 m 文件

h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长

r=tau/h;%网比

[x,y,t]=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%空间网格剖分

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