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二维波动方程的有限差分法.zip_二维波动_二维波动方程_差分方程_波动方程_波动方程差分
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二维波动方程的有限差分法,与解析解进行了误差比对
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学 生 实 验 报 告
实验课程名称 偏微分方程数值解
开课实验室 数统学院
学 院 数 统 年级 2013 专业班 信计 02 班
学 生 姓 名 学 号
开 课 时 间 2015 至 2016 学年第 2 学期
总 成 绩
教师签名
2
数学与统计学院制
开课学院、实验室: 数统学院 实验时间 : 2016 年 6 月 20 日
实验项目类型
实验项目
名 称
二维波动方程的有限差分法
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成 绩
是
一.实验目的
通过该实验,要求学生掌握求解二维波动方程的有限差分法,并能通过计算机语言编程
实现。
二.实验内容
考虑如下的初值问题:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
2 2 2
2
2 2 2
2
, , 0,1 , 0,1.4
, , 0 sin sin , , , 0 0, , 0,1
, , 0, , , 0,1.4
u u u
x y t
t x y
u x y x y u x y x y
t
u x y t x y t
p p
ì
¶ ¶ ¶
= + Î W = Î
ï
¶ ¶ ¶
ï
ï
¶
= = Î
í
¶
ï
ï
= Î ¶W Î
ï
î
(1)
1.在第三部分写出问题(1)三层显格式。
2.根据你写出的差分格式,编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。
3.取
0.1, 0.1h h
t
= =
,分别将
0.5,1.0,1.4t =
时刻的数值解画图显示。
4. 该问题的解析解为
( )
, , t cos 2 sin sinu x y t x y
p p p
=
,将四个时刻的数值解的误差画图显示,
对数值结果进行简单的讨论。
三.实验原理、方法(算法)、步骤
网格划分
0.1, 0.1h h
t
= =
,故
1 1.4
10, 140N M
h
t
= = = =
,
, , , 0,1, ,10
i j
x ih y jh i j= = = L
,
k
t k
t
=
,
0,1, ,140k = L
。在内网点
( )
, ,
i j k
x y t
,利用二阶中心差商,对(1)建立差分格式:
1 1
, , , 1, , 1, , 1 , , 1
2 2 2
2 2 2
k k k k k k k k k
i j i j i j i j i j i j i j i j i j
u u u u u u u u u
h h
t
+ -
+ - + -
- + - + - +
= +
(2)
整理得到:
( ) ( )
1 2 2 1
, 1, 1, , 1 , 1 , ,
2 4
k k k k k k k
i j i j i j i j i j i j i j
u r u u u u r u u
+ -
+ - + -
= + + + + - -
(3)
3
其中,
, 1, 2, ,9, 1, 2, ,139i j k= =L L
,网比
0.1r
h
t
= =
,局部截断误差为
( )
2 2
o h
t
+
。
考虑边界条件
( ) ( )
[ ]
, , 0, , , 0,1.4u x y t x y t= Î ¶W Î
,差分格式为:
0,0 0,N ,0 ,
0, 0,1, ,140
k k k k
N N N
u u u u k= = = = = L
(4)
考虑初始条件
( )
, , 0 sin sinu x y x y
p p
=
,差分格式为:
( )
( )
( ) ( )
0
,
sin sin sin sin , , 0,1, ,10
i j i j
u x y ih jh i j
p p p p
= = = L
(5)
考虑初始条件
( ) ( ) ( )
2
, , 0 0, , 0,1
t
u x y x y= Î
,利用二阶差商近似:
1 1
, ,
0, , 0,1, ,10
2
i j i j
u u
i j
t
-
-
= = L
(6)
设
0k =
时刻的点为内点,则满足差分格式(2),代入上式得到:
( ) ( )
1 2 0 0 0 0 2 0 1
, 1, 1, , 1 , 1 , ,
2 4
i j i j i j i j i j i j i j
u r u u u u r u u
-
+ - + -
= + + + + - -
(7)
将(6)得到的结果
1 1
, ,i j i j
u u
-
=
代入(7)中,整理得到:
( ) ( )
1 2 0 0 0 0 2 0
, 1, 1, , 1 , 1 ,
1
1 2
2
i j i j i j i j i j i j
u r u u u u r u
+ - + -
= + + + + -
(8)
综上(2)、(4)、(5)、(8)得到三层显格式的差分格式为:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 2 1
, 1, 1, , 1 , 1 , ,
0,0 0,N ,0 ,
0
,
1 2 0 0 0
, 1, 1, , 1
2 4
, 1, 2, ,9, 1, 2, ,139
0, 0,1, ,140
sin sin sin sin , , 0,1, ,10
1
2
k k k k k k k
i j i j i j i j i j i j i j
k k k k
N N N
i j i j
i j i j i j i j i
u r u u u u r u u
i j k
u u u u k
u x y ih jh i j
u r u u u u
p p p p
+ -
+ - + -
+ - +
= + + + + - -
= =
= = = = =
= = =
= + + +
L L
L
L
( ) ( )
0 2 0
, 1 ,
1 2 , , 0,1, ,10
j i j
r u i j
-
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
+ - =
ï
î
L
(9)
其中
0.1r
h
t
= =
,局部截断误差为
( )
2 2
o h
t
+
。
四.实验环境(所用软件、硬件等)及实验数据文件
Matlab
%二维波动方程数值计算(关键:怎么运用 i,j,k 三个指标建立循环)
clc;
%可以将代码换成函数 m 文件
h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长
r=tau/h;%网比
[x,y,t]=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%空间网格剖分
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