约束最优化问题
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2019-01-21
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1.1 约束最优化问题
在约束最优化问题之中在原有无约束最优化问题的基础上加入了约束条件：
{
min
x ∈R
n
f (x)
s .t . g
i
(
x
)
≤ 0 , i=1 ,⋯ ,m
h
j
(
x
)
=0 , j=1 ,⋯ , n
( 3.24 )
约束包括不等式约束和等式约束。其中
f ， g ，h
均为连续可微函数。为了
便于计算通常使用广义拉格朗日函数来将函数和约束集中到一个函数之中：
L
(
x , λ , μ
)
=f
(
x
)
+
∑
i =1
m
λ
i
g
i
(
x
)
+
∑
i=1
n
μ
j
h
j
(
x
)
( 3.25 )
定义函数：
α
(
x
)
= max
λ , μ; λ ≥0
L(x , λ , μ)
( 3.26 )
现在在不满足约束条件时，
α →+∞
。而满足约束条件时
α
(
x
)
=f (x )
。由此考
虑极小值问题：
min
x
α
(
x
)
=min
x
max
λ ,μ; λ≥ 0
L(x , λ , μ)
( 3.27 )
由此就将求解原始函数的最优化问题，转换为求解拉格朗日函数的极小极
大值问题。但这个问题依然相对难于求解，因此在此将其转换为对偶问题：
max
λ, μ; λ ≥ 0
β
(
λ , μ
)
= max
λ, μ; λ≥0
min
x
L(x , λ , μ)
( 3.28 )
因为
β
(
λ , μ
)
=min
x
L(x , λ , μ)≤ L
(
x , λ , μ
)
≤ max
λ, μ ; λ≥ 0
L
(
x , λ , μ
)
=α(x )
( 3.29 )
所以
max
λ, μ; λ ≥ 0
β
(
λ , μ
)
≤ min
x
α
(
x
)
( 3.30 )
对于（3.27）式的极小极大值问题与（3.28）式极大极小值的对偶问题而
言，如果满足 Karush Kuhn Tucker（KKT）条件，那么（3.30）式等号成立。
此时解
x
¿
, λ
¿
, μ
¿
既是原问题又是对偶问题的最优解。KKT 条件记为：
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zhangjinpeng66
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