收稿日期 : 2007 - 11 - 08
基金项目 :四川省教育厅青年基金项目
(
072B042
)
作者简介 :石勇国
(
1978 -
)
,男 ,湖北云梦人 ,讲师 ,硕士 ,主要从事函数方程与动力系统研究。
蚂蚁追击问题与等角螺线
石勇国
(
内江师范学院 数学系 ,四川 内江 641112
)
摘要 :通过研究蚂蚁追击问题 ,建立离散模型和微分方程模型 ,得到问题的解析解 ,推广了前人的结论 ,同时给出其追击曲线 ———等角螺线的特有性
质.
关键词 :追击曲线 ;等角螺线 ;数学模型 ;自相似
中图分类号 : O123. 5 文献标识码: A 文章编号: 1671 - 5365
(
2008
)
06 - 0023 - 03
0 引言
本文介绍的追击问题是 : n只蚂蚁分别在一个正 n边形的顶
点上 ,在某一时刻 ,它们同时以匀速度 v沿逆时针方向追逐下一
只 ,并且在任意时刻他们始终保持追逐的方向是对准追逐目标 ,
例如 , A追逐 B,任意时刻 A始终向着 B追. 如果此多边形的边长
为 s,问 :
1
)
这些蚂蚁过多久可以相撞 ?
2
)
到相撞时 ,每只蚂蚁走过多长的路程 ?
3
)
画出蚂蚁所走的曲线.
这个问题有很多不同的版本. 如 :三只
(
或者四个、五条等
)
狗
〔1〕
(
或者海龟、小虫等
)
类似的追击问题
〔2, 3〕
. 这个问题可以推
广为 n只蚂蚁以不同的速度在非正多边形上的追击问题
〔4〕
. 关
于原问题的简单情形
(
即 n = 3 和 n = 4
)
, W ells, D.
〔5〕
和
Zwikker C.
〔6〕
分别作了解答 , 证明了他们的轨迹均是等角螺
线
〔7, 8〕
. 本文考虑一般的情形 , 根据原问题不同方面的考虑 , 分
别建立了离散时间系统和连续系统的数学模型. 分别给出了 n
只蚂蚁相撞时间 ,以及每只蚂蚁所走的路程以及曲线方程 :
T
n
=
s
v
(
1 - cos
2
π
n
)
, D
n
=
s
1 - cos
2
π
n
,
r
n
=
s
2sin
π
n
e
θ
cot
(
n- 2
)π
2n
.
证明了蚂蚁所走的曲线也是等角螺线. 关于螺线的性质介绍见
文献〔10, 11〕. 最后我们给出和证明等角螺线的不变量、自相似
等特有性质.
1 追击问题的离散模型
以时间间隔
Δ
t进行采样 ,在每一时刻 t,计算每只蚂蚁在下
一时刻 t +
Δ
t时的坐标. 通过离散打点画出蚂蚁的轨迹曲线.
算法
1
)
建立平面直角坐标系. 以正多边形的中心为原点 , 设正
多边形的一个顶点为起始点 , 连接此点和原点作 x轴 ,根据 x轴
做出相应的 y轴 ,选取足够小的
Δ
t进行采样;
2
)
在每一时刻 t,计算每只蚂蚁在下一时刻 t +
Δ
t时的坐标. 不
妨设甲的追逐对象是乙 ,在时间 t时,甲的坐标为 A
(
x
1
, y
1
)
,乙的坐
标为 B
(
x
2
, y
2
)
. 甲在 t +
Δ
t时在 A′点
(
如图 1所示
)
, 其坐标为
(
x
1
+ v
Δ
tcos
θ
, y
1
+ v
Δ
tsin
θ)
,
其中
cos
θ
=
x
2
- x
1
d
, sin
θ
=
y
2
- y
1
d
, d =
(
x
2
- x
1
)
2
+
(
y
2
- y
1
)
2
.
同理 ,依次计算下一只蚂蚁在 t +
Δ
t时的坐标. 通过间隔
Δ
t进行
采样 ,得到新一轮各只蚂蚁在一个新的正多边形上的位置坐标;
3
)
重复 2
)
步 ,直到 d充分小为止;
4
)
连接每只蚂蚁在各时刻的位置 ,就得到所求的轨迹.
图 1 在采样时间内相连蚂蚁追击图
根据上面的算法编写 MATLAB程序 , 得到每只蚂蚁的轨迹
(
如图 2所示
)
.
图 2 蚂蚁的轨迹图
32
第 6期 NO. 6 宜宾学院学报 Journal of Yibin University June. 2008
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