### 自动控制理论（第二版）第五章答案解析
#### 風域分析法与系统频率特性
在《自动控制理论（第二版）》一书中，第五章详细介绍了频域分析法及其应用。本章主要关注如何通过频域分析方法来理解和解决控制系统中的问题。下面我们将基于题目提供的部分内容，对涉及的知识点进行深入解析。
### 频域分析法
频域分析法是经典控制理论的重要组成部分，它通过将时间域内的信号转换到频域来进行分析，从而简化了系统的稳定性、动态性能等复杂问题的研究。频域分析法主要包括幅相频率特性、奈奎斯特稳定判据等内容。
### 知识点解析
#### 2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出及频率特性
**题目描述：**
已知系统的单位阶跃响应为
\[
c(t) = 0.8 - 0.8e^{-t} + e^{-9t}, \quad t \geq 0
\]
**解答过程：**
首先求出系统的闭环传递函数：
\[
G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{0.8 - 0.8/s + 1/(s+9)}{1} = \frac{0.8s + 0.8 + \frac{1}{s+9}}{s(s+9)}
\]
化简得到
\[
G(s) = \frac{0.8(s+1) + \frac{1}{s+9}}{s(s+9)} = \frac{0.8(s+1)(s+9) + 1}{s(s+9)^2}
\]
进一步化简得到系统的闭环传递函数：
\[
G(s) = \frac{0.8s^2 + 8.8s + 7.2 + 1}{s^3 + 18s^2 + 81s} = \frac{0.8s^2 + 8.8s + 8.2}{s^3 + 18s^2 + 81s}
\]
接着求系统的频率特性：
\[
G(j\omega) = \frac{0.8(-\omega^2) + 8.8j\omega + 8.2}{-\omega^3 + 18(-\omega^2) + 81j\omega}
\]
简化后可得：
\[
G(j\omega) = \frac{-0.8\omega^2 + 8.2 + 8.8j\omega}{-\omega^3 - 18\omega^2 + 81j\omega}
\]
为了更好地理解这一表达式，我们可以将其表示为极坐标形式：
\[
G(j\omega) = M(\omega)e^{j\phi(\omega)}
\]
其中
\[
M(\omega) = \left|\frac{-0.8\omega^2 + 8.2 + 8.8j\omega}{-\omega^3 - 18\omega^2 + 81j\omega}\right|
\]
\[
\phi(\omega) = \angle\left(\frac{-0.8\omega^2 + 8.2 + 8.8j\omega}{-\omega^3 - 18\omega^2 + 81j\omega}\right)
\]
#### 2-5-2 单位负反馈系统的开环传递函数及稳态输出
**题目描述：**
给定单位负反馈系统的开环传递函数为
\[
G(s) = \frac{1}{s + 4}
\]
对于以下三种输入信号，求系统的稳态输出：
1. \[
r_1(t) = 30\sin(30t)
\]
2. \[
r_2(t) = 2\cos(45t + 2\pi/4)
\]
3. \[
r_3(t) = 2\sin(30t) - 2\cos(45t - 2\pi/4)
\]
**解答过程：**
首先求出系统闭环传递函数：
\[
G_c(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{\frac{1}{s + 4}}{1 + \frac{1}{s + 4}} = \frac{1}{s + 5}
\]
1. 对于输入信号 \[r_1(t) = 30\sin(30t)\] ，利用频率特性求解稳态输出：
\[
G(j\omega) = \frac{1}{5 + j\omega}
\]
代入 \(\omega = 30\) 得到
\[
|G(j30)| = \frac{1}{\sqrt{5^2 + 30^2}} \approx 0.019
\]
\[
\angle G(j30) = -\tan^{-1}\left(\frac{30}{5}\right) \approx -84.29^\circ
\]
因此，稳态输出为
\[
c_1(t) = 30|G(j30)|\sin(30t - \angle G(j30)) \approx 0.57\sin(30t + 84.29^\circ)
\]
2. 对于输入信号 \[r_2(t) = 2\cos(45t + 2\pi/4)\] ，利用频率特性求解稳态输出：
\[
|G(j45)| = \frac{1}{\sqrt{5^2 + 45^2}} \approx 0.022
\]
\[
\angle G(j45) = -\tan^{-1}\left(\frac{45}{5}\right) \approx -81.87^\circ
\]
因此，稳态输出为
\[
c_2(t) = 2|G(j45)|\cos(45t + 2\pi/4 - \angle G(j45)) \approx 0.044\cos(45t - 37.13^\circ)
\]
3. 对于输入信号 \[r_3(t) = 2\sin(30t) - 2\cos(45t - 2\pi/4)\] ，利用频率特性求解稳态输出：
\[
c_3(t) = c_{1}(t) - c_{2}(t)
\]
\[
c_3(t) \approx 0.57\sin(30t + 84.29^\circ) - 0.044\cos(45t - 37.13^\circ)
\]
### 总结
以上分析展示了如何通过频域分析法解决控制系统的稳态响应问题。频域分析不仅能够提供系统稳定性的直观判断依据，还能帮助我们理解系统对不同频率信号的响应特性，这对于设计高性能控制系统至关重要。
