### 自动控制理论知识点解析
#### 一、自动控制理论概览
自动控制理论是研究自动控制系统设计与分析的一门学科，广泛应用于工程、物理、生物医学等多个领域。本章节重点介绍了古典控制理论中的数学模型建立方法，以及如何通过解析模型来理解系统的动态行为。
#### 二、控制系统的数学模型
在自动控制理论中，建立控制系统的数学模型是理解和分析系统行为的基础。数学模型可以是微分方程、传递函数等形式。
##### 2-2-1 控制系统的微分方程建立
题目中给出了四种不同类型的系统模型，并要求建立相应的微分方程。
- **(a) 电路系统**：通过应用克希霍夫定律，可以得到微分方程 \( RC\frac{du_c}{dt} + u_c = u_r \)。
- **(b) 弹簧阻尼系统**：根据力学原理，可以得到微分方程 \( k(x_c - x_r) + f\dot{x}_c = 0 \)。
- **(c) 组合系统**：结合电阻和弹簧阻尼系统的特性，可以推导出更复杂的微分方程。
- **(d) 另一种弹簧阻尼系统**：通过对系统施加的力进行分析，同样可以建立相应的微分方程。
这四个系统之间的共同特点是都属于一阶系统，并且 (a) 和 (b) 彼此相似，(c) 和 (d) 彼此相似。
##### 2-2-2 电路系统的传递函数
题目要求计算不同电路的传递函数，主要采用了复阻抗的概念和分压原理。
- **(a) 串联RLC电路**：传递函数为 \( \frac{U_c(s)}{U_r(s)} = \frac{1}{LCs^2 + \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R_2}\right)s + \frac{1}{R R_2}} \)。
- **(b) 并联RC电路**：传递函数为 \( \frac{U_c(s)}{U_r(s)} = \frac{1}{1 + sC(R + R_2) + s^2 C C_2 R R_2} \)。
- **(c) 复杂电路**：传递函数为 \( \frac{U_c(s)}{U_r(s)} = \frac{1}{LCs^2 + (\frac{1}{R} + \frac{1}{R_2})s + \frac{1}{R R_2}} \)。
- **(d) 复杂电路**：传递函数为 \( \frac{U_c(s)}{U_r(s)} = \frac{1}{1 + sC(R + R_2) + s^2 C C_2 R R_2} \)。
这些传递函数揭示了输入输出之间的关系，有助于进一步分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
##### 2-2-3 差压变送器的数学模型
题目描述了一种工业应用中常见的流量测量装置——孔板与差压变送器的组合。流量\( Q \)与差压\( P \)之间存在非线性关系：\( Q = k\sqrt{P} \)，其中\( k \)为常数。为了便于分析，假设系统在某基准流量\( Q_0 \)附近工作，并对流量进行微小扰动。
通过泰勒展开近似处理，可以将非线性关系简化为线性关系。这样做的目的是使问题简化，便于后续的分析与设计。
通过对典型系统的建模和分析，可以深入理解自动控制系统的基本原理和技术。这对于实际工程应用具有重要的指导意义。
