给出了一组含有2个参数的多项式基函数，它是三次Bernstein基
函数的扩展；基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线，称之为拟三次B6zier(QB6zier)
曲线。Q_B6zier曲线不仅具有三次B6zier曲线的特征，而且在控制多边形保
持不变的条件下，具有形状可调性和对控制多边形更好的逼近性。形状参数具有明
显的几何意义：控制曲线端点的性质。最后，给出了一些图形实例。
### Bezier曲线算法研究与实现
#### 摘要与背景
本文介绍了一种新的曲线类型——拟三次Bezier (QBézier) 曲线。它是在三次Bezier曲线的基础上进行了改进和扩展，通过引入两个形状参数，使曲线在保持控制多边形不变的情况下，能够更加灵活地调整其形状。这种新曲线不仅继承了传统三次Bezier曲线的优点，如简单直观的构造方式，还具备了额外的形状可调性以及对控制多边形更好的逼近能力。
#### 三次Bezier曲线简介
Bezier曲线是计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design, CAGD）领域中一种重要的工具，广泛应用于曲线和曲面的设计。三次Bezier曲线是一种常见的Bezier曲线类型，它由四个控制点定义，包括两个端点和两个中间控制点。这些控制点决定了曲线的形状。三次Bezier曲线具有以下特点：
1. **几何直观性**：曲线的起点和终点分别与第一个和最后一个控制点重合。
2. **形状唯一性**：一旦控制多边形确定，曲线的形状也随之固定。
3. **凸包性**：曲线始终位于其控制多边形内。
4. **参数化表达**：曲线可以通过参数化的方式进行数学描述。
#### 拟三次Bezier曲线（QBézier曲线）
##### 定义与特点
拟三次Bezier曲线是一种扩展型的三次Bezier曲线，通过引入两个形状参数（记作α和β），能够在保持控制多边形不变的前提下，调整曲线的形状。这意味着即使控制点的位置固定，通过改变α和β的值，也可以获得不同形状的曲线。
QBézier曲线的定义基于一组新的多项式基函数，这些基函数是三次Bernstein基函数的扩展。这种新的基函数形式为：
\[ B_{i,n}^*(u; \alpha, \beta) = \binom{n}{i} u^i (1-u)^{n-i} (1+\alpha u + \beta (1-u))^{n} \]
其中，\( n \) 是曲线的阶数，\( i \) 表示基函数的序号，\( u \) 是参数变量，而 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 分别是两个形状参数。
##### 形状参数的作用
形状参数 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 具有明确的几何意义，主要用于控制曲线端点处的性质，如切线方向和曲率。具体来说：
- **\( \alpha \) 控制起点**：通过调整 \( \alpha \) 的值，可以改变曲线起点处的切向和曲率，从而影响整体曲线的起始形态。
- **\( \beta \) 控制终点**：类似地，\( \beta \) 的变化会直接影响曲线终点处的切向和曲率，进而影响整个曲线的结束形态。
这种灵活性使得QBézier曲线能够更好地逼近特定的形状或者满足特定的设计需求。
#### 实例展示
文中还提供了一些具体的图形实例，展示了如何通过调整形状参数 \( \alpha \) 和 \( \beta \)，在控制多边形保持不变的情况下改变QBézier曲线的形状。这些实例有助于直观理解形状参数的作用及其对曲线形状的影响。
#### 结论与展望
QBézier曲线作为一种新的曲线表示方法，在保留了传统三次Bezier曲线优点的同时，增加了形状的可调性。这对于那些需要频繁调整曲线形状的应用场景特别有用，例如在飞机、舰船的外形设计与优化中。未来的研究可以进一步探索更多类型的形状参数以及它们对曲线形状的影响，以满足更多复杂的设计需求。
