"曲线曲面造型基础"
在计算机辅助设计（CAD）系统中，曲线曲面造型是关键技术之一。它主要研究如何使用数学方法描述自由曲线和曲面，并实现曲线曲面的设计、显示和分析。本文将详细介绍Bezier曲线和B样条曲线的生成算法。
### 5.1 认识曲线与曲面
曲线曲面可以分为两类：初等解析曲面和自由变化的曲线曲面。初等解析曲面包括平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等，可以用画法几何与机械制图方法清楚表达和传递所包含的全部形状信息。自由曲线和曲面则不能用画法几何与机械制图方法表达清楚，需要使用数学方法进行描述。
### 5.2 曲面造型的发展历程
曲面造型的发展历程可以追溯到20世纪60年代。1963年，美国波音飞机公司的弗格森（Ferguson）引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向切矢定义的弗格森双三次曲面片。1964年，MIT的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
### 5.3 曲线曲面的参数表达
曲线曲面的参数表达是指使用数学方法描述曲线曲面的形状。常用的参数表达方法包括多项式表达、参数矢量函数形式等。例如，Bezier曲线可以用以下参数矢量函数形式描述：
P(u) = Σ (ui * Bi(u))
其中，P(u)是曲线点的位置矢量，ui是控制点的位置矢量，Bi(u)是伯恩斯坦基函数。
### 5.4 Bezier曲线
Bezier曲线是一种常用的自由曲线描述方法。它使用控制多边形定义曲线的形状。Bezier曲线的参数表达式为：
P(u) = Σ (ui * Bi(u))
其中，P(u)是曲线点的位置矢量，ui是控制点的位置矢量，Bi(u)是伯恩斯坦基函数。
### 5.5 B样条曲线
B样条曲线是另一种常用的自由曲线描述方法。它使用控制多边形和结点矢量定义曲线的形状。B样条曲线的参数表达式为：
P(u) = Σ (Ni(u) * Bi(u))
其中，P(u)是曲线点的位置矢量，Ni(u)是结点矢量，Bi(u)是伯恩斯坦基函数。
### 5.6 NURBS曲线
NURBS曲线是一种高级的自由曲线描述方法。它使用控制多边形、结点矢量和权值定义曲线的形状。NURBS曲线的参数表达式为：
P(u) = Σ (Ni(u) * Bi(u) / Σ (Wi * Bi(u)))
其中，P(u)是曲线点的位置矢量，Ni(u)是结点矢量，Wi是权值，Bi(u)是伯恩斯坦基函数。
曲线曲面造型是CAD系统中的关键技术之一。Bezier曲线和B样条曲线是两种常用的自由曲线描述方法，NURBS曲线是一种高级的自由曲线描述方法。这些方法可以用于描述复杂的曲线曲面，并实现曲线曲面的设计、显示和分析。
