多元统计分析是统计学的一个重要分支，主要处理包含多个变量的数据集，用于探索变量之间的关系、降维和数据简化。该考试题目涉及了多元统计分析的一些核心概念和技术，包括概率分布、独立性、随机样本、二维正态总体、参数估计、假设检验、因子分析等。
1. **概率分布**：
- 在第一题中，要求求解某个随机变量的分布，这可能涉及到连续随机变量的概率密度函数（PDF）或离散随机变量的概率质量函数（PMF），以及随机变量的独立性。独立性的条件是它们的相关系数为零，意味着一个变量的取值不会影响另一个变量的取值。
2. **二维正态总体**：
- 第二题提到了容量为n=3的随机样本来自二维正态总体，这是多元统计分析中的基础分布。要求估计均值向量和协方差矩阵，并进行假设检验。在二维正态分布中，均值向量表示各变量的期望值，协方差矩阵反映变量之间的相关性。检验通常基于卡方分布或F分布进行，此处使用了F分布的上分位数来判断是否接受原假设。
3. **因子分析**：
- 第三题涉及的是女子田径纪录数据的因子分析，这是一种统计方法，用于发现变量间潜在的结构关系，通过提取少数几个主因子来解释大部分的方差。表3.2给出了描述性统计，表3.3的KMO和Bartlett's Test用于检验数据适合因子分析的程度，KMO值大于0.5通常被认为是可以接受的，而Bartlett's Test的显著性为零说明相关矩阵非单位阵，适合做因子分析。表3.4和3.5给出了因子载荷，表3.6是因子得分系数，这些结果帮助我们识别哪些变量在各个因子上有较大的影响。因子载荷表明变量与因子的关系强度，共同度是变量方差中被因子解释的部分，累积贡献率则是因子解释总方差的比例。
解答问题如下：
1. **正交因子模型**：
- 通常，正交因子模型表示因子之间相互独立，因子载荷矩阵是旋转后的因子载荷，其中每个变量对因子的贡献是不相关的。
2. **Bartlett's Test**：
- 原假设是相关矩阵是单位阵，即变量间没有结构关系；备择假设是相关矩阵非单位阵，存在结构关系。由于P值极小，拒绝原假设，说明数据适合进行因子分析。
3. **旋转因子载荷和共同度**：
- 需要根据表3.4和3.5填写表格，如100米对应第一个因子的载荷可能是0.886，第二个因子为0.400，共同度是变量方差中被两个因子解释的部分，累积贡献率则反映了因子解释的总方差百分比。
4. **共同度和累计贡献率**：
- 共同度表示每个变量的方差有多少比例被因子解释，而累计贡献率是所有因子解释的方差之和占总方差的比例，用于评估因子分析的有效性。
5. **因子得分表达式**：
- 因子得分通常可以通过因子载荷矩阵和样本数据计算得出，例如第一个因子得分可能为：-0.288 * 100米数据 + -0.328 * 200米数据 + ...，第二个因子得分类似。
以上是对考试内容的解析，涵盖了多元统计分析中的关键概念和应用。在实际工作中，这些知识对于理解和解释复杂数据集，以及进行有效的数据分析至关重要。
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