小学奥数专题--排列组合推理篇.doc

【排列组合推理篇】 在小学奥数学习中，排列组合是一个重要的知识点，涉及到数学概率的基础原理。排列组合问题通常涉及到“除法”分类相加、分步组合、有序排列和无序组合。加法原理和乘法原理是解决这类问题的基本方法。 **加法原理**： 加法原理告诉我们，如果完成一件事情有N类方法，每类方法中又有M1、M2...Mn种不同的方式，那么完成这件事情的方法总数就是这些方法的和，即M1+M2+...+Mn。这个原理适用于分类问题，其中每类方法是独立的，每一种方法都能单独完成任务，而且各类方法互不相同，没有重复。 **乘法原理**： 乘法原理指出，如果完成某项任务需要分成k个步骤，每步有n1、n2...nk种不同的完成方式，那么完成整个任务的方法总数就是这些步骤方式的乘积，即n1×n2×...×nk。这个原理适用于分步问题，每个步骤是连续的，必须按顺序完成，每一步的方法不能单独完成任务，必须所有步骤都完成才行。 **排列与组合的基本概念和公式**： 1. **排列**：从n个不同的元素中，取出m个元素按特定顺序排列成一列，称为一个排列。排列数Pmn表示为n(n-1)(n-2)...(n-m+1)，也可以写作n!/(n-m)!，当m=n时，排列数为全排列Pnn=n!。 2. **组合**：从n个不同的元素中，取出m个元素组成一组，不考虑顺序，称为一个组合。组合数Cmn表示为Pmn/m!，也可以写作n!/[(n-m)!m!]。当m较大，接近n的一半时，可以使用Cmn=Cn-mn简化计算。Cnn和C0n都等于1。 **实例解析**： 例如，在例1中，从1到20的20个数中任取3个数构成等差数列。由于等差数列的中间数由两边的数决定，且必须保证两数同奇同偶，因此需要对奇数和偶数进行分类计算，最终应用组合公式C210得到答案。 在例2中，从M到N的路径问题是一个典型的分步问题，需要向上走三步，向右走五步，总步骤为8。由于每一步的方向决定了走法，可以应用组合公式C38来计算。 例3中，种植作物的问题涉及到间隔限制，需通过分类来解决。A作物的位置固定，B作物有几种选择取决于间隔要求，通过分类计算得到总的选法。 **排列组合的区别与联系**： 排列强调顺序，组合不考虑顺序。所有的排列都可以视为先选择组合，然后对选取的元素进行全排列；相反，组合加上排序的步骤也可以转化为排列问题。在解决实际问题时，需要根据具体情况判断是分类问题（加法原理）还是分步问题（乘法原理），以及是排列还是组合。 排列组合推理是解决许多实际问题的关键，它训练孩子的逻辑思维和问题解决能力，对于培养数学思维具有重要意义。通过学习和实践，孩子们能够掌握这一领域的基础知识，并能灵活运用到各种实际情境中。