六大基本初等函数图像和性质.doc

文档中的内容主要涉及六大基本初等函数，包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数。下面将分别对这些函数的图像和性质进行详细解释： 1. **常值函数**： - 它的图像是一条平行于x轴的直线，因为无论x取什么值，y始终等于常数C。 - 定义域是全体实数R，值域也是全体实数R。 2. **幂函数**： - 形式为y = x^α，α是常数。 - 图像和性质取决于α的值： - 当α为正整数，函数图像通过原点，α>1时与x轴相切，奇数α时关于原点对称，偶数α时关于y轴对称。 - α为负整数时，定义域不包含0。 - α为正有理数时，根据奇偶性和分母的奇偶性确定定义域和对称性。 - α为负有理数时，定义域同样受奇偶性影响。 3. **指数函数**： - 形式为y = a^x，a是常数且a > 0且a ≠ 1。 - 定义域为全体实数R，值域是(0, +∞)。 - 图像根据a的值决定其单调性，a > 1时图像单调递增，0 < a < 1时图像单调递减。 - 图像总是位于x轴上方，且通过点(0,1)。 - 底数互为倒数的指数函数图像关于y轴对称。 4. **对数函数**： - 形式为y = log_a(x)，a是常数且a > 0且a ≠ 1。 - 定义域为(0, +∞)，值域为全体实数R。 - 对数函数与指数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。 - 常用对数是以10为底的对数，自然对数是以e（约等于2.71828）为底的对数。 - 底数互为倒数的两个对数函数图像关于x轴对称。 5. **三角函数**： - 包括正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)。 - 定义域通常是全体实数，值域范围在[-1, 1]之间。 - 可以通过五点作图法描绘其周期性图像。 - 正弦和余弦函数具有周期性、奇偶性、单调性和对称性等特性。 这些基本初等函数是数学分析和应用的基础，它们的性质和图像对于解决各种数学问题至关重要，尤其是在微积分、物理、工程等领域。了解并掌握这些函数的基本属性可以帮助我们更好地理解和处理复杂的数学模型。