中心极限定理是统计学和概率论中非常重要的定理，它描述了大量独立随机变量之和趋近于正态分布的性质。中心极限定理对于统计推断至关重要，因为它提供了一种在知道总体分布的前提下，如何从样本数据推断总体分布参数的方法。
在给出的文件中，描述了中心极限定理的证明方法。证明使用了矩生成函数（Moment Generating Functions）的概念，这是统计推断中一个关键的工具。矩生成函数定义为随机变量X的函数MX(t)，它等于e的t倍X的期望值，即MX(t)=E(etX)。利用矩生成函数的性质，可以推导出随机变量序列和独立随机变量之和的矩生成函数。特别地，如果两个独立随机变量X和Y分别具有矩生成函数MX和MY，那么它们之和Z的矩生成函数MZ(t)就是MX(t)和MY(t)的乘积，即MZ(t)=MX(t)MY(t)。这个性质简化了独立随机变量之和分布的计算。
接下来，文件提到了两个命题。第一个命题指出，如果X和Y是两个独立随机变量，那么它们之和Z的矩生成函数就是各自矩生成函数的乘积。这个命题是通过概率论中的期望运算的性质推导出来的。第二个命题说明了如果随机变量X经过线性变换后变为Y（即Y=a+bX），那么Y的矩生成函数MY(t)可以通过X的矩生成函数MX(t)进行变换得到，即MY(t)=eatMX(bt)。
进一步，文件中提出了累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）的定义，即随机变量X的CDF是F(x)=P(X≤x)。累积分布函数描述了随机变量取值小于或等于某个值的概率。若有一系列随机变量X1，X2...，具有累积分布函数F1，F2...，而随机变量X具有累积分布函数F，则若对于F连续的任意点x，有lim(n→∞)Fn(x)=F(x)，则称序列Xn依分布收敛于X。
为了证明中心极限定理，文件中引入了一个定理，这个定理指出，如果随机变量序列Fn的矩生成函数Mn(t)在包含零点的一个开区间内对所有t都趋近于某个矩生成函数M(t)，那么Fn(x)在F连续的任意点x处也会趋近于F(x)。这个定理是中心极限定理的核心，它说明了在什么样的条件下，一系列随机变量的和会趋近于正态分布。
证明的最后部分没有在给定的文件片段中详细展开，但可以理解为，通过上述定理和矩生成函数的性质，可以推导出当随机变量序列独立且同分布，并且具有有限的方差时，它们的和在样本量足够大时，将会趋近于一个正态分布，这就是中心极限定理的结论。
总结来说，中心极限定理的证明涉及到矩生成函数、线性变换、累积分布函数的概念，以及概率分布的收敛性。这些知识点对于理解和应用中心极限定理至关重要。在统计推断中，中心极限定理的作用是基础性的，因为它使得我们能够利用样本数据来估计总体的参数，即使在不知道总体分布具体形式的情况下也能进行可靠的统计推断。
