Matlab数值积分P44.pdf_MATLAB求数值积分方法资源-CSDN文库

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Matlab 数值积分 Matlab 是一个强大的数学软件，可以用于数值积分计算。数值积分是数学分析中的一种重要方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了多种数值积分方法和公式，可以满足不同的计算需求。 1. 定积分的 MATLAB 符号计算定积分是数学分析中的一种基本概念，用于计算函数在某一区间上的积分值。Matlab 提供了多种方法来计算定积分，例如 Symbolic Math Toolbox 中的 `int` 函数，可以用于计算定积分。 2. 变限积分的 MATLAB 符号计算变限积分是指在某一区间上计算函数的积分值，并且可以变化积分上限。Matlab 提供了多种方法来计算变限积分，例如使用 `int` 函数和 `syms` 函数来定义符号变量。 3. 矩形公式的 MATLAB 程序矩形公式是一种简单的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了矩形公式的实现代码，可以用于计算定积分。 4. 梯形公式的 MATLAB 程序梯形公式是一种更高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了梯形公式的实现代码，可以用于计算定积分。 5. 辛普森（SIMPSON）数值积分的 MATLAB 程序辛普森公式是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了辛普森公式的实现代码，可以用于计算定积分。 6. 牛顿-科茨（NEWTON-COTES）数值积分和误差分析的 MATLAB 程序牛顿-科茨公式是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了牛顿-科茨公式的实现代码，可以用于计算定积分。同时，Matlab 还提供了误差分析工具，可以用于分析计算结果的误差。 7. 利用三次样条求表格型数值积分的 MATLAB 方法三次样条是一种常用的插值方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了三次样条的实现代码，可以用于计算定积分。 8. 利用拉格朗日插值等方法求表格型数值积分的 MATLAB 方法拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了拉格朗日插值的实现代码，可以用于计算定积分。 9. 龙贝格（ROMBERG）公式及其 MATLAB 程序龙贝格公式是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了龙贝格公式的实现代码，可以用于计算定积分。 10. 自适应积分及其 MATLAB 程序自适应积分是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了自适应积分的实现代码，可以用于计算定积分。 11. 高斯（GAUSS）型积分公式及其 MATLAB 程序高斯型积分公式是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了高斯型积分公式的实现代码，可以用于计算定积分。 12. 拉道积分公式和洛巴托积分公式及其 MATLAB 程序拉道积分公式和洛巴托积分公式是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。Matlab 提供了拉道积分公式和洛巴托积分公式的实现代码，可以用于计算定积分。 13. 无穷积分的符号计算及其 MATLAB 程序无穷积分是一种数学分析中的概念，用于计算函数在无穷区间上的积分值。Matlab 提供了无穷积分的符号计算方法，可以用于计算无穷积分。 14. 无穷积分的近似计算及其 MATLAB 程序无穷积分的近似计算是一种常用的方法，用于近似计算无穷积分的值。Matlab 提供了无穷积分的近似计算方法，可以用于计算无穷积分。 Matlab 提供了多种数值积分方法和公式，可以满足不同的计算需求。用户可以根据自己的需求选择合适的方法和公式来计算定积分或无穷积分。

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MATLAB 数值积分

1 定积分的 MATLAB 符号计算 ................................................................................................... 2

2 变限积分的 MATLAB 符号计算 ............................................................................................... 2

3 矩形公式的 MATLAB 程序 ....................................................................................................... 2

4 梯形公式的 MATLAB 程序........................................................................................................ 3

5 辛普森（SIMPSON）数值积分的 MATLAB 程序.................................................................. 4

6 牛顿-科茨（NEWTON-COTES）数值积分和误差分析的 MATLAB 程序 .......................... 6

7 利用三次样条求表格型数值积分的 MATLAB 方法 ............................................................. 10

8 利用拉格朗日插值等方法求表格型数值积分的 MATLAB 方法.......................................... 10

9 龙贝格（ROMBERG）公式及其 MATLAB 程序 ................................................................ 12

10 自适应积分及其 MATLAB 程序 ........................................................................................... 14

11 高斯（GAUSS）型积分公式及其 MATLAB 程序 .............................................................. 15

11.1 在[-1,1]上的高斯-勒让德积分及其 MATLAB 程序 ....................................................... 15

11.2 在[A,B]上的高斯-勒让德积分公式及 MATLAB 程序..................................................... 17

12 拉道积分公式和洛巴托积分公式及其 MATLAB 程序 ....................................................... 17

13 无穷积分的符号计算及其 MATLAB 程序 ........................................................................... 23

14 无穷积分的近似计算及其 MATLAB 程序 ........................................................................... 25

14.1 累积求和无穷积分法及其 MATLAB 程序 ...................................................................... 25

14.2 无穷区间的截断法及其 MATLAB 程序.......................................................................... 26

14.3 高斯-拉盖尔求积公式及其 MATLAB 程序..................................................................... 27

14.3 高斯—埃尔米特求积公式及其 MATLAB 程序 .............................................................. 31

15 无界函数反常积分的符号计算及其 MATLAB 程序 ........................................................... 33

16 无界函数反常积分的近似计算及其 MATLAB 程序 ........................................................... 35

16.1 无界函数的反常积分的“挖去”法及其 MATLAB 程序 .............................................. 35

16.2 高斯—切比雪夫求积公式及其 MATLAB 程序 .............................................................. 36

17 多重积分的计算及其 MATLAB 程序 ................................................................................... 37

17.1 二重积分的符号计算及其 MATLAB 程序 ...................................................................... 37

17.2 二重积分的梯形公式及其 MATLAB 程序 ...................................................................... 39

17.3 矩形域上的辛普森公式及其 MATLAB 程序 .................................................................. 40

17.4 一般域上二重积分的数值计算及其 MATLAB 程序 ...................................................... 42

17.5 三重积分的计算及其 MATLAB 程序.............................................................................. 42

>> syms x

F=int(exp(sin(x)),x,0, pi/2), Fs= double (F),

wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2)

运行后屏幕显示定积分的精确值 Fs 和与用矩形公式计算结果的绝对误差 wz

、wz

（二）函数 cumsum 的调用格式

调用格式一：cumsum(X)

调用格式二：cumsum (X,DIM)

例用 MATLAB 的函数 sum 和 cumsum 及矩形公式计算





e x

sin



，并与

精确值比较.

解将

]2/,0[ 

分成 20 等份，步长为 40/



，输入程序如下（注意 sum 和 cumsum

的用法）

>> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x);

z1=sum(y(1:20))*h,z2=sum(y(2:21))*h,

z=cumsum(y); z11=z(20)*h, z12=(z(21)-z(1))*h,

运行后屏幕显示计算结果分别如下

z1 = z2 = z11 = z12 =

0.3873 0.4036 0.3873 0.4036

求定积分的精确值，输入程序

>> syms x

F=int(exp(-x)*sin(x),x,0, pi/2)

Fs= double (F) ,wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2)

运行后屏幕显示定积分的精确值 Fs 和用矩形公式计算结果的绝对误差 wz

、wz

分别如下

F = Fs =

1/2*(-1+exp(pi)^(1/2))/exp(pi)^(1/2) 0.3961

wz1 = wz2 =

0.0088 0.0075

4 梯形公式的 MATLAB 程序

(一) 根据梯形公式和估计误差公式自己编写 MATLAB 程序计算定积分

例分别取 80/,800/,0008/



h ，用梯形公式计算定积分







xsin

，并与精确值比较.然后观察

对计算结果的有效数字和绝对误差的影

响.

解编写并输入如下程序

>>h=pi/8000;a=0;b=pi/2;x=a:h:b;n=length(x),

y=exp(sin(x));

z1=(y(1)+y(n))*h/2; z2=sum(y(2:n-1))*h; z8000=z1+z2,

syms t

f=exp(sin(t)); intf=int(f,t,a,b), Fs=double(intf),

Juewucha8000=abs(z8000-Fs)

运行后屏幕显示取

8000/h 时，积分区间 ]2/,0[



上等距节点的个数 n ，用梯形

公式计算定积分

的值 z8000 和精确值 intf 的近似值 Fs 及其绝对误差 Juewucha8000.

(二) 用函数 trapz 计算定积分

调用格式一：Z =trapz(Y)

调用格式二：Z =trapz(X,Y)

调用格式三：Z = trapz (X,Y,DIM) 或 trapz (Y,DIM)

(三) 用函数 cumtrapz 计算定积分

调用格式一：Z =cumtrapz (Y)

调用格式二：Z =cumtrapz (X,Y)

调用格式三：Z = cumtrapz (X,Y,DIM) 或 cumtrapz (Y,DIM)

例用 MATLAB 的函数

trapz 和 cumtrapz 分别计算



 2/

e x

sin



，精确到



，并与矩形公式比较.

解将

]2/,0[  分成 20 等份，步长为 40/



，输入程序如下（注意 trapz(y)是单位步

长, trapz(y)*h=trapz(x,y)）：

>> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x);

z1=sum(y(1:20))*h, z2=sum(y(2:21))*h, z=(z1+z2)/2

z3=trapz(y)*h, z3h=trapz(x,y), z3

c=cumtrapz(y)*h,

运行后屏幕显示用矩形公式（9.3），（9.4）计算结果 z

、

和二者的平均数 z、函数 trapz

和 cumtrapz 分别计算结果 z

、

(四)梯形数值积分的 MATLAB 主程序

梯形数值积分的 MATLAB 主程序

function T=rctrap(fun,a,b,m)

n=1;h=b-a; T=zeros(1,m+1); x=a;

T(1)=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b))/2;

for i=1:m

h=h/2; n=2*n; s=0;

for k=1:n/2

x=a+h*(2*k-1); s=s+feval(fun,x);

end

T(i+1)=T(i)/2+h*s;

end

T=T(1:m);

例用 rctrap 计算









，递归 14 次，并将计算结果与精确值比较.

解输入程序

>>T=rctrap(@fun,0,pi/2,14), syms t

fi=int(exp((-t^2)/2)/(sqrt(2*pi)),t,0, pi/2);

Fs= double(fi), wT= double(abs(fi-T))

运行后屏幕显示

精确值 F

，用 rctrap 计算

的递归值 T 和 T 与精确值 F

的绝对误差 w

5 辛普森（Simpson）数值积分的 MATLAB 程序

调用格式一：quad(‘fun’,a,b)

调用格式二：quad(‘fun’,a,b,tol)

调用格式三：[Q,FCNT] = quad (...)

调用格式四：quad(‘fun’,a,b, tol,TRACE)

调用格式五：quad(‘fun’,a,b, tol,TRACE,P1,P2, …)

复合辛普森（Simpson）数值积分的 MATLAB 主程序

function y=comsimpson(fun,a,b,n)

z1=feval (fun,a)+ feval (fun,b);m=n/2;

h=(b-a)/(2*m); x=a;

z2=0; z3=0; x2=0; x3=0;

for k=2:2:2*m

x2=x+k*h; z2= z2+2*feval (fun,x2);

end

for k=3:2:2*m

x3=x+k*h; z3= z3+4*feval (fun,x3);

end

y=(z1+z2+z3)*h/3;

例用 comsimpson.m 和 quad.m 分别计算定积分







I e



，取精度为



，并与精确值比较.

解输入程序

>> [Q1,FCNT14] = quad(@fun,0,1,1.e-4,3),

Q2 =comsimpson (@fun,0,1,10000)

syms x

fi=int(exp( (-x.^2)./2)./(sqrt(2*pi)),x,0, 1);

Fs= double (fi)

wQ1= double (abs(fi-Q1) ), wQ2= double (abs(fi-Q2) )

运行后屏幕显示

的精确值 F

，用 comsimpson.m 和 quad.m 分别计算

的近似值 Q

、

和迭代次数 FCNT14，取精度分别为



，Q

、Q

分别与精确值 F

的绝对误差 wQ

, wQ

如下

9 0.0000000000 2.71580000e-001 0.1070275100

11 0.2715800000 4.56840000e-001 0.1597942242

13 0.7284200000 2.71580000e-001 0.0745230082

Q1 = FCNT14 = Q2 =

0.3413 13 0.3413

Fs = wQ1 = wQ2 =

0.3413 3.6619e-009 3.7061e-005

辛普森公式及其误差分析

例用辛普森公式计算









，取 00120



n 个等距节点，并将计算

结果与精确值比较，然后再取

13n 计算，观察 n 对误差的影响.

解由

0012012 



 mn

，得

00010



.根据辛普森（Simpson）公式编写并输

入下面的程序

>> a=0;b=1;m=10000; h=(b-a)/(2*m); x=a:h:b;

y=exp((-x.^2)./2)./(sqrt(2*pi));

z1=y(1)+y(2*m+1); z2=2*sum(y(2:2:2*m));

z3=4*sum(y(3:2:2*m));

z=(z1+z2+z3)*h/3, syms t,f=exp((-t^2)/2)/(sqrt(2*pi));

intf=int(f,t,a,b), Fs=double(intf); Juewucha=abs(z-Fs)

运行后屏幕显示用辛普森公式(9.11)计算定积分

的近似值 z 和精确值 intf 及其绝对误差

Juewucha（取

00120n 个等距节点）.

例估计用辛普森公式计算定积分







I e

xsin

时的误差，取 40/h .

解根据估计误差公式，先输入求

)(

)4(

xf 的程序

>>syms x,y=exp(sin(x)); yx4=diff(y,x,4)

运行后输出被积函数的四阶导函数. 然后在输入误差估计程序

>>h=pi/40; x=0:0.00001:pi/2;

yx4=sin(x).*exp(sin(x))-4*cos(x).^2.*exp(sin(x))+3*sin(x

).^2.*exp(sin(x))-6*sin(x).*cos(x).^2.*exp(sin(x))+cos(x).^4.*e

xp(sin(x));

juyx4= abs(yx4); RS=(h^4)*(pi/2)*max(juyx4)/180

运行后屏幕显示误差估计值

RS =

3.610450295892220e-006

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