《随机信号分析基础第二章习题》主要涵盖了随机过程的基础理论和相关概念，以及如何对随机信号进行概率分布和数字特征的计算。本章重点包括以下几个方面：
1. **随机过程的概念**：随机过程可以理解为一系列依赖于时间的随机变量集合，即随时间变化的一族函数。它是由随机试验或随机变量构成的时间序列。
2. **随机过程的概率分布**：随机过程X(t)的概率分布由其概率密度函数(p.d.f.)和累积分布函数(c.d.f.)定义。对于连续随机过程，概率密度函数描述了在任意时间t，随机变量X(t)取特定值的概率分布情况。
3. **随机过程的数字特征**：
- **数学期望**（均值）：数学期望是随机过程在所有可能取值上的平均，计算公式为：\( E[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x p(x) dx \)。
- **方差**：方差衡量随机过程的波动程度，计算公式为：\( Var(X(t)) = E[X^2(t)] - [E[X(t)]]^2 \)。
- **自相关函数**：自相关函数描述了随机过程在不同时间点上的相关性，表达式为：\( R_{XX}(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)] \)。
- **协方差函数**：协方差函数是随机过程在不同时间点的线性关系，表达式为：\( C_{XX}(t_1, t_2) = E[(X(t_1) - E[X(t_1)])(X(t_2) - E[X(t_2)])] \)。
4. **随机过程之间的统计特性**：包括统计独立、不相关和正交概念。统计独立意味着两个随机过程的联合分布等于各自分布的乘积；不相关表示它们的协方差为零；而正交则是在某种意义上没有关联，具体取决于随机过程的性质和定义域。
5. **随机序列及其统计特性**：随机序列是一组随机变量的序列，其统计特性包括平均值、方差、自相关和互相关等，这些特性有助于理解和预测序列的行为。
题目中的例子展示了如何计算随机过程的概率分布和数字特征。例如，对于一个给定的随机过程X(t)，我们可以通过分析其样本函数的性质判断它是确定性随机过程还是非确定性随机过程，并进一步计算其数学期望和方差。同时，通过观察随机过程在不同时间点的取值，我们可以确定其概率密度函数并计算相应的数字特征。
对于两个随机过程X(t)和Y(t)之间的关系，我们需要理解它们的互相关函数和互协方差函数，这对于判断它们是否独立、不相关或正交至关重要。例如，如果互相关函数为零，则表明两个随机过程不相关，但不一定是独立的。而若互协方差函数为零，则表明它们是正交的。
随机信号分析的基础知识是理解复杂系统中随机性行为的关键，这在通信工程、信号处理、控制理论等领域有着广泛的应用。掌握这些概念和计算方法，能帮助我们更好地理解和分析实际世界中的随机现象。
