信号与系统课件：第9章 拉普拉斯变换.ppt

拉普拉斯变换是一种在信号与系统分析中广泛使用的数学工具，它是傅里叶变换的推广，适用于处理更多种类的信号，特别是在系统分析和控制理论中。在第9章"拉普拉斯变换"中，主要讨论了双边拉普拉斯变换、其收敛域、系统函数以及与傅里叶变换的关系。 双边拉普拉斯变换定义了一个从时间域到复频域的映射，它将函数x(t)转换为X(s)，其中s=jω+σ，j是虚数单位，ω是角频率，σ是实部。对于LTI（线性时不变）系统的响应，如果单位冲激响应为h(t)，那么系统对输入x(t)的响应可以通过拉普拉斯变换求得。双边拉普拉斯变换在σ>0时等价于连续时间傅里叶变换，这说明傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。 拉普拉斯变换的重要性在于它可以处理不满足狄里赫利条件的信号。对于某些无法通过傅里叶变换分析的信号，引入适当的σ值后，它们的拉普拉斯变换可能存在，从而使得分析成为可能。例如，对于指数衰减信号at*tu(t)（t>0），其拉普拉斯变换为X(s)=1/(s+a)，当σ>a时，积分收敛，且ROC为σ>a，这包括了σ轴（对应于傅里叶变换的jω轴）。 收敛域ROC是拉普拉斯变换的一个关键概念，它定义了哪些复数s可以使拉普拉斯变换的积分收敛。不同的信号可能有相同的拉普拉斯变换，但其收敛域可能不同。只有结合表达式和ROC，才能唯一确定原始的信号。 零极点图是表示拉普拉斯变换的零点和极点在s平面上分布的图形，这对于理解系统的频率响应和稳定性至关重要。通过零极点图，可以直观地看出系统函数H(s)的特性，例如系统的稳定性和频率响应的形状。 拉普拉斯变换的ROC和零极点图是分析LTI系统的关键工具。当ROC包含σ=0的轴时，可以使用拉普拉斯逆变换将系统函数转化为时间域表示，这对于求解系统的响应特别有用。不同信号的拉普拉斯变换及其ROC提供了丰富的信息，帮助我们深入理解信号的频域特性以及系统的行为。 第9章"拉普拉斯变换"深入探讨了拉普拉斯变换的概念、性质、应用及其与傅里叶变换的联系，为理解和分析复杂信号与LTI系统奠定了基础。通过对双边拉普拉斯变换的理解，工程师和科学家能够解决更为广泛的信号处理问题，尤其是在控制系统设计和信号分析中。