科学计算方法18(数值积分2).ppt

《科学计算方法18(数值积分2)》的讲解主要围绕数值积分这一核心主题展开，数值积分是数学和计算科学中的重要概念，用于估算函数在一定区间内的定积分。本讲内容聚焦于通过插值方法来实现数值积分，并讨论了不同类型的插值策略及其在数值积分中的应用。 讲解提到了插值观点下的数值积分，这是通过构建多项式插值来近似原函数的一种方法。具体来说，分为分段线性插值和分段三次插值。分段线性插值是最简单的形式，它在每个子区间内用一条直线来近似函数，而分段三次插值则使用三次多项式，通常可以提供更精确的近似。然而，高阶的Newton-Cotes公式，即基于高次插值多项式的积分公式，可能会遇到Runge现象，导致数值上的不稳定性。 为了解决高阶NC公式可能带来的问题，提出了分段低阶数值积分，也称为复合数值积分。这种方法将积分区间适当分割，然后在每个子区间上使用低阶的数值积分公式。这样做的好处是可以减少Runge现象的影响，提高数值稳定性和计算精度。 复合梯形积分公式是复合数值积分的一个例子，它将区间[n]等分成n个部分，每个子区间上使用梯形规则进行积分，然后将所有子区间的积分结果相加。公式表达为：\( \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f(x_j) \)，其中\( x_j = a + jh \)，\( h = \frac{b-a}{n} \)是每个子区间的宽度。这个方法通过增加子区间的数量（n增大）可以提高积分的精度。 在实际计算中，MATLAB语言被用来演示如何应用这些理论。例如，使用`linspace`函数创建等间距的网格点，`f`表示被积函数，`trapz`函数则是MATLAB中的梯形积分函数，可以方便地求出定积分的近似值。通过对比不同n值的`trapz`结果，可以观察到随着n的增大，积分的近似值会逐渐接近真实值。 此外，还提及了一般介值定理，这是数值分析中的重要定理，它保证了在一定条件下，多项式插值的平均值等于函数在插值节点处的平均值。这个定理对于理解和证明数值积分的收敛性至关重要。 本讲内容深入探讨了数值积分的原理和应用，特别是通过插值方法来实现积分近似，以及如何通过MATLAB进行数值计算。对于学习科学计算的学生和研究人员，这些都是非常实用和基础的知识点。