第七章图(2)图的遍历.pdf
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【图的遍历】在图论中,图的遍历是一种重要的操作,它涉及从图中的某个特定顶点开始,按一定规则访问图中的所有其他顶点,确保每个顶点只被访问一次。这一过程主要用于搜索图的结构,发现特定路径或者解决与图相关的算法问题。主要有两种遍历方法:深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。 **深度优先搜索(DFS)** 深度优先搜索是一种递归的遍历策略,其核心思想是从当前顶点出发,首先访问与其相邻且未被访问过的顶点,然后继续深入这个方向,直到遇到无法进一步访问的新顶点为止,此时回溯到上一个顶点,尝试访问其他未访问的邻接顶点,直到遍历完所有与初始顶点有路径相连的顶点。在实际操作中,通常使用一个辅助数组`visited[]`来标记顶点是否已被访问,避免重复访问。 在连通图中,DFS的过程类似于树的先根遍历。例如,对于无向图G1,从顶点1出发可以得到不同的深度优先搜索序列,如1, 2, 4, 8, 5, 6, 3, 7或1, 3, 6, 8, 7, 4, 2, 5等,这表明从同一顶点出发的DFS序列并不唯一。 **广度优先搜索(BFS)** 与DFS不同,BFS采用队列数据结构,从起始顶点开始,先访问所有与其相邻的顶点,然后依次访问这些顶点的相邻顶点,保证每次访问的都是距离起始顶点最近的未访问顶点。这样可以保证找到最短路径,尤其适用于寻找两顶点间的最短路径问题。 **图的基本概念** 在图的理论中,图是由顶点和边构成的数据结构,边可以是有向(箭头指示方向)或无向(无方向)。有向图中,每个边有起点和终点;无向图中,边连接两个顶点,没有方向之分。完全图是指图中任意两个不同的顶点间都有一条边相连。子图是指图的一部分,包含原图的一些顶点和这些顶点之间的一些边。连通图是图中任何两个顶点都可通过一系列边相连的图。度是图中一个顶点的邻接边的数量,分为入度(指向该顶点的边数)和出度(从该顶点出发的边数)。简单回路和环是指没有重复顶点的闭合路径。 **图的存储结构** 图的存储结构主要有邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组,用于表示图中顶点之间的邻接关系,如果顶点i和j之间有边,则对应矩阵元素为1,否则为0。邻接表则是为每个顶点维护一个列表,存储与其相邻的所有顶点。 **图的其他运算** 除了遍历,图的其他重要运算包括: 1. 最小生成树:寻找一个权值总和最小的边集,使得这些边连接图中所有顶点,如Prim算法或Kruskal算法。 2. 最短路径:寻找图中两顶点间的最短路径,Dijkstra算法是常用的方法。 3. 拓扑排序:对有向无环图(DAG)进行线性排序,使得每条有向边都指向排序后的后继节点。 4. 关键路径:在有向图中找出最长的路径,这在项目管理中非常有用。 掌握这些知识点能帮助我们灵活运用图这种数据结构解决实际问题,例如网络路由、社交网络分析、任务调度等。在实际编程中,熟练运用DFS和BFS算法能够有效解决许多图相关的问题。
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