2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2演绎推理优化练习新人教A版选修1_2201808

【知识点详解】 1. **演绎推理的结构**：演绎推理是一种逻辑推理方式，通常由三段论构成，即大前提、小前提和结论。大前提是一般性规则或原理，小前提是个体情况，结论是根据大前提和小前提得出的具体结果。例如，题目中的证明“a<b”通过大前提“在同一个三角形中大角对大边”，小前提“∠A<∠B”得出结论“a<b”。 2. **正弦函数的性质**：正弦函数是周期性、奇函数，但f(x) = sin(x^2 + 1)不是一个标准的正弦函数，因为它包含了一个平方项，这使得它不再具有正弦函数的标准性质。 3. **演绎推理的应用**：演绎推理广泛应用于数学证明中，如证明三角形性质、不等式等。例如，题目中求解不等式ax^2 + 2ax + 2 < 0的解集为空集，通过分析二次函数的判别式，应用二次不等式的解法进行演绎推理。 4. **归纳推理与类比推理的区别**：归纳推理是从个别到一般，而类比推理是从一个事物的属性推断另一个相似事物可能具有的属性。题目中“由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质”是类比推理，而“某校三个班级人数超过50人，推断所有班级人数都超过50人”是归纳推理。 5. **构造函数证明技巧**：在证明不等式时，构造函数F(x) = xf(x)，通过求导判断函数的单调性，可以用来证明如af(b) < bf(a)这类不等式。 6. **使用基本不等式的注意事项**：当应用如“a+b ≥ 2√ab”这样的基本不等式时，必须确保a和b为非负数。在演绎推理中，如果忽视了这个条件，推理可能会出错，如题目中的小前提没有保证x>0，导致结论错误。 7. **不等式的解集**：理解不等式的解集取决于多项式的根和判别式，例如，对于ax^2 + 2ax + 2 < 0，当判别式小于0时，不等式的解集为空集，意味着没有实数解。 8. **对数函数的定义域**：对数函数y=log_{b}x的定义域是{x|x>0}，因为底数b的对数只有在x>0时才有意义。因此，求函数y=log_{2}x - 2的定义域时，必须保证log_{2}x - 2 >= 0。 9. **平行四边形的性质**：证明线段ED等于AF，运用了平行四边形的性质，即两组对边平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等。 10. **导数与函数单调性的关系**：如果一个函数的导数在某个区间上恒为负，则该函数在这个区间上单调递减。在证明af(b) < bf(a)时，构造函数F(x) = xf(x)，利用导数判断其单调性，从而得到证明。 总结，本节内容涵盖了演绎推理的基本概念、演绎推理在数学证明中的应用、不等式的解法、函数性质的运用以及归纳推理和类比推理的区别。在实际问题解决中，正确运用这些推理方法是理解和解决问题的关键。