【知识点详解】
1. **导数与函数单调性的关系**：导数是判断函数单调性的主要工具。如果函数f(x)在某区间内的导数f'(x)大于0，则该区间内函数f(x)单调递增；如果f'(x)小于0，则f(x)在该区间单调递减；若f'(x)等于0，则可能是函数的局部极值点。题目中的第1题和第4题均涉及到利用导数判断函数单调性的知识。
2. **函数的单调性与不等式的应用**：在第2题中，利用f'(x)≥0在(1, +∞)上恒成立，转化为求参数a的取值范围，需要用到不等式恒成立的问题。这里通过分离参数a并求函数的最小值来解决。
3. **幂函数与幂函数的导数**：第3题涉及幂函数f(x) = x^α，通过幂函数图像上的点确定幂指数α，再求出复合函数g(x)的导数，进而找到其单调递减区间。
4. **导数与二次函数的关系**：第5题中，函数f(x) = x^3 - ax的单调性取决于导数3x^2 - a的符号，求解使函数f(x)单调递增的a的取值范围，需要用到二次函数的性质。
5. **函数的极值与导数**：第6题通过分析(x-3)f'(x)≤0，推断函数在不同区间上的单调性，进而得出f(0) + f(6)与2f(3)之间的关系。这涉及到函数极值的概念，当x=3时，导数f'(x)可能为0或不存在，但不改变f(3)是局部极大或极小值的事实。
6. **指数函数与对数函数的性质**：第7题中，函数f(x) = e^x + x - 2和g(x) = ln x + x^2 - 3分别利用了指数函数和对数函数的单调性，结合它们的零点a和b，判断g(a)和f(b)的正负。
7. **利用导数构造新函数**：第8题通过构造函数g(x) = f(x)/x，利用新函数g(x)的单调性比较f(-5)和f(-3)的大小，以及3f(-5)和5f(-3)的关系，这涉及到导数与函数增减性的联系。
8. **图形分析法**：第9题通过导函数图像判断原函数的单调性，从而比较sinA和cosB对应的函数值。由于A和B是钝角三角形的锐角，可以通过三角函数的性质和导数图像来分析。
总结，这部分内容主要涵盖了导数的几何意义、函数单调性的判定、导数与函数极值的关系、不等式恒成立问题、幂函数和指数函数的性质、以及利用导数构造新函数进行比较等高中数学中的核心知识点。在解决这类问题时，理解并熟练运用导数的性质是关键，同时，要能够灵活应用函数的单调性、极值等概念来解决实际问题。
