2018版高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4_42018050318

高中数学中的渐开线与摆线是圆的特殊运动轨迹，这两个概念主要出现在解析几何的参数方程部分。渐开线是由一个圆绕其半径滚动时，与固定直线上一点始终保持接触的动点轨迹形成的；摆线则是圆在平面上滚动时，圆上一点离开固定点的轨迹。 1. 渐开线的参数方程通常表示为：\( x = r(\theta + \sin\theta), y = r(1 - \cos\theta) \)，其中 \( r \) 是基圆的半径，\( \theta \) 是参数。从题目中的例子来看，我们可以看到基圆的周长可以通过半径计算得出，即 \( 2\pi r \)。在第一道题目中，由于半径为1，因此基圆的周长是 \( 2\pi \)。 2. 摆线的参数方程则可以表示为：\( x = r(\phi - \sin\phi), y = r(1 - \cos\phi) \)，这里的 \( \phi \) 是摆线参数。第二题中，我们利用摆线方程找出对应点的位置，并计算两点间的距离。 3. 摆线与直线的交点可以通过解参数方程找到，例如第三题中，将直线方程与摆线方程联立，解出参数 \( t \)，再代入摆线的参数方程求得交点坐标。 4. 渐开线的直径可以从其参数方程看出，半径为1的圆其直径为2。第四题中，将参数 \( \theta \) 代入渐开线方程即可得到对应点的坐标。 5. 渐开线上的点可以通过圆的渐开线参数方程求得，第五题中，将 \( \phi \) 代入圆的渐开线参数方程，即可得到点P的坐标。 6. 直径为6的圆的渐开线和摆线参数方程可以根据圆的半径构建，第六题中，渐开线参数方程为 \( x = r(cos\phi + \phi\sin\phi), y = r(sin\phi - \phi\cos\phi) \)，而摆线参数方程为 \( x = r\phi - r\sin\phi, y = r - r\cos\phi \)。 7. 第七题中，通过渐开线参数方程计算两点间的距离，首先确定两点对应的参数值，然后代入参数方程求坐标，最后利用两点间距离公式计算。 8. 在第八题中，正方形的渐开线是各边圆心依次移动后形成的一系列圆弧的组合，每个圆弧都是半径递增1的圆的四分之一，所以总长度是各段弧长之和。 9. 摆线的最高点出现在圆心与固定点连线的垂直平分线上，此时 \( \cos\phi = 0 \)，代入摆线方程求解即可得到最高点的坐标。 渐开线与摆线的研究涉及到参数方程的理解和应用，以及通过参数方程求解几何问题的能力。对于高中学生来说，理解这些概念并能熟练运用它们解决相关问题，有助于提高他们的数学素养和问题解决能力。