高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线课后训练北师大版选修4_4

高中数学的第二章深入探讨了参数方程，特别是聚焦在平摆线和渐开线的概念。参数方程在处理这些问题时具有重要的作用，因为它能够更直观地描述曲线的动态变化。例如，圆的渐开线的参数方程可以转换为普通方程，但通常保留参数形式更便于分析，因为这样可以清晰地展示坐标之间的复杂关系。 题目中提到的选项②正确地指出圆的渐开线参数方程可以转化为普通方程，但转换后的形式可能复杂且不易理解。选项③指出在求解平摆线和渐开线方程时，坐标系的选择会影响参数方程的形式，这是正确的，因为不同的坐标系会带来不同的几何表现。而选项④错误地断言圆的渐开线与x轴的交点是唯一且固定的，实际上，交点的存在性与坐标系选择有关。因此，正确的答案是C．②③。 在平摆线和渐开线的练习题中，第2题通过求解参数方程来找出与直线y=2的交点，得出交点的直角坐标可能是(π－2,2)或(3π＋2,2)。第3题涉及的是正方形的渐开线，通过连接依次按B、C、D、A循环的圆心，形成一个闭合曲线，计算其长度为5π。 第4题展示了平摆线关于直线y=x的对称性，即其对称曲线是其自身的反函数。平摆线的参数方程可以通过x与y的互换来找到对称曲线的参数方程，这里选择B选项作为正确答案。 第5题要求在半径为3的圆的平摆线上找到纵坐标为0的点的横坐标，这可以通过将y=0代入平摆线的参数方程来解决，得到横坐标为6kπ(k∈Z)。 第6题中，已知圆的渐开线参数方程，通过给出的φ值π/2，可以求得点P的坐标为(π,2)。 第7题要求写出平摆线的参数方程并计算一拱的拱宽和拱高。如果生成圆的直径为80mm，半径为40mm，平摆线的参数方程可得，其一拱的拱宽为2πr=80πmm，拱高为2r=80mm。 第8题则要求根据渐开线上点的坐标求对应基圆的面积。将点(3,0)代入渐开线的参数方程，可以解出基圆的半径r=3，从而基圆的面积S=πr²=9π。 参数方程在处理平摆线和渐开线问题时是非常实用的工具，它能帮助我们更灵活地分析几何图形的性质，并解决相关的计算问题。