【知识点详解】
1. 因式分解：因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积形式，这是初中数学中的重要概念。在题目中，例如多项式 15a³b²(a+b)c+10a²b(a+b)，我们需要找出其公因式，也就是能够整除所有项的表达式。在这个例子中，公因式是 5a²b(a+b)。
2. 公因式：公因式是指多项式中各个项都含有的相同因子，它可以通过提取来简化表达式。例如，在多项式 34x⁴y² - 17x²y⁴ - 51x²y² 中，公因式是 x²y²。
3. 平方差公式：平方差公式是 (a+b)(a-b)=a²-b²，用于因式分解形如 x²-y² 的表达式。例如，x²-9y² 可以分解为 (x+3y)(x-3y)。
4. 完全平方公式：完全平方公式是 (a±b)²=a²±2ab+b²，用于因式分解形如 x²±2xy+y² 或 x²-2xy+y² 的表达式。例如，9x²-mxy+16y² 是完全平方公式 (3x)²-mxy+(4y)² 的形式，所以 m 必须等于 2×3×4=24。
5. 提公因式法：这是一种因式分解的方法，通过提取各项公共因子，将多项式化简。例如，3a²-3 可以提取公因式 3，得到 3(a²-1)，进一步可以利用平方差公式分解为 3(a+1)(a-1)。
6. 二次三项式因式分解：当一个二次三项式满足特定条件时，可以使用完全平方公式进行分解。例如，3m²-6m+3 可以先提取公因式 3，然后剩下的 m²-2m+1 是 (m-1)² 的形式，因此原式可以分解为 3(m-1)²。
7. 乘法公式与因式分解的关系：因式分解与乘法公式是逆运算，如 (x+y)(x-y)=x²-y²，而逆向使用这个公式，x²-y² 就可以分解为 (x+y)(x-y)。
8. 同底数幂的乘法与因式分解：如 (-2)¹⁰⁰ + (-2)⁹⁹，可以看作是同底数幂相加，根据幂的性质可以转换为 (-2)⁹⁹ * (1+(-2))，进一步简化为 (-2)⁹⁹*(-1)。
9. 多项式乘法与因式分解的结合：例如解答题中提到的逆用乘法公式 (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab，可以通过这个公式来判断哪些多项式可以使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
10. 填空题解法：对于题目中的填空题，如多项式 34x⁴y² - 17x²y⁴ - 51x²y² 的公因式是 17x²y²，(2x+a)(2x-a) 是平方差公式的结果，a²b(x-y)³ - ab²(y-x)² 可以先转化符号再提取公因式，3a²-3 可以提取公因式 3 后再应用平方差公式，3m²-6m+3 可以提取公因式 3 后再应用完全平方公式，a(b-c)-3(c-b) 可以通过改变负号的形式提取公因式，(–2)¹⁰⁰ + (–2)⁹⁹ 可以转化为同底数幂相加，最后一题填空需要具体数值计算或因式分解。
11. 因式分解在实际问题中的应用：因式分解不仅在理论学习中重要，也是解决实际问题的关键，比如在几何、物理等学科中，通过对表达式的因式分解简化问题，找到解题的路径。
12. 教材版本：本测试题是根据新版冀教版七年级数学下册第11章设计的，这表明因式分解是该教材中的重点内容。
通过以上解析，我们可以看到因式分解在数学中的核心地位，它涉及到基本的数学运算规则、代数表达式的简化以及问题的解决策略。熟练掌握因式分解的方法，对于解决代数问题具有重要意义。
