在数学的领域中，一元二次方程是一个重要的概念，特别是在初中阶段的数学学习中，根的判别式是理解一元二次方程性质的关键工具。根的判别式，通常表示为Δ=b^2-4ac，它可以帮助我们判断方程的根的性质。
在标题和描述给出的作业设计中，主要涉及了对一元二次方程根的判别式的应用。例如，题目1询问方程x^2-4x+5=0的根的情况。通过计算判别式Δ=(4)^2-4*1*5=-4，发现Δ<0，这意味着该方程没有实数根，选项D是正确的。
题目2则要求找出有相等实数根的一元二次方程。计算每个选项的判别式，如选项C (x+1)^2=0，其判别式Δ=0，符合题意，因此选项C正确。
题目3是方程4x^2+1=4x，整理后得到4x^2-4x+1=0，判别式Δ=(-4)^2-4*4*1=0，同样有相等的实数根，对应选项C。
此外，题目还涉及到如何计算根的判别式，如题目4中，方程2x^2-x-1=0的判别式Δ=(1)^2-4*2*(-1)=9。
对于一元二次方程的根的判别式，我们可以总结以下规律：
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根或一个重根。
3. 当Δ<0时，方程没有实数根，但有复数根。
在后续的题目中，例如题目7至20，都考察了根据判别式判断方程根的性质，以及在特定条件下，如方程有实数根、等腰三角形的边长与方程根的关系等实际问题的应用。
例如，题目17询问了一元二次方程若有两个相等实数根时，2m^3-8mn+2017的值。当Δ=m^2-4n=0时，我们可以得出m^3-2mn=0，进而推导2m^3-8mn=0，因此2m^3-8mn+2017=2017。
理解和运用根的判别式是解决一元二次方程问题的基础，它能够帮助我们分析方程的根的性质，从而解决各种数学问题。在教学和学习过程中，应当注重这一概念的讲解和练习，以确保学生能熟练掌握并灵活运用。
