2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题充分条件与必要条件练习理北师大版

在高中数学复习中，第一章集合与常用逻辑用语中的一个重要概念是命题的充分条件与必要条件。这个知识点在高考中经常出现，对于理解和解决问题至关重要。 我们要理解四种命题的关系。一个命题通常可以分为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。原命题是最初的陈述，逆命题是将原命题的条件和结论互换，否命题是同时否定原命题的条件和结论，而逆否命题是原命题的条件和结论的否定互相交换。例如，原命题“若a是正数，则a的平方不等于0”，其逆命题是“若a的平方不等于0，则a是正数”，否命题是“若a不是正数，则a的平方等于0”，逆否命题是“若a的平方等于0，则a不是正数”。 在判断命题真假时，有两种主要的方法：一是直接依据已知的数学定理、公式和结论；二是通过四种命题之间的关系，尤其是原命题与逆否命题真假性相同的特点，来间接判断。例如，题目中提到的命题“若x²<1，则-1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤-1，则x²≥1”，通过判断逆否命题的真假可以确定原命题的真假。 接下来，我们讨论充分条件、必要条件和充要条件的概念。充分条件是指如果一个条件A能确保另一个条件B的发生，那么A是B的充分条件。必要条件是说如果B发生，那么A必须已经发生，即没有A就没有B。而充要条件是既是充分条件也是必要条件，即A和B互为对方发生的充分必要条件。例如，题目中，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，意味着a+b≤4时ab一定不大于4，但ab≤4并不一定意味着a+b≤4。 在解决实际问题时，我们需要学会如何判断条件是否充分、必要或充要。例如，对于不等式“x²-5x<0”和“|x-1|<1”，前者解集为{x|0<x<5}，后者解集为{x|0<x<2}，显然前者包含后者，因此前者是后者的必要不充分条件。 关于逻辑联结词“或”、“且”的运用，例如“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件，这意味着如果a+b=3，那么a和b不能同时等于1和2，但a+b≠3并不保证a≠1或b≠2，因为a和b可以同时不等于1和2，但它们的和可能仍然不等于3。 总结来说，这部分内容要求学生掌握命题的四种形式及其真假判断，理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，并能应用于实际问题中进行条件的判断。这不仅是高考数学的重点，也是日常逻辑思维训练的重要组成部分。通过深入理解并熟练运用这些知识，学生能够更好地解决复杂的数学问题。