【知识点详解】
1. 导数的几何意义与单调性：
导数是研究函数变化率的重要工具，可以用来判断函数的单调性。如题目中提到的函数 f(x) = ax - ln x，其导数 f'(x) = a - 1/x。当 a ≤ 0 时，f'(x) < 0 对所有 x > 0 成立，说明函数在整个正实数轴上单调递减；而当 a > 0 时，导数在 x = 1/a 处从负变正，因此 f(x) 在 (0, 1/a) 上单调递减，在 (1/a, +∞) 上单调递增。
2. 极值点的判断：
利用导数来确定函数的极值点，当导数从正变负或从负变正时，函数可能出现极大值或极小值。如 f'(x0) = lnx0 - 1/x0 = 0，通过判断导数的符号变化，可以确定 f(x) 存在唯一极值点 x0。
3. 不等式的证明：
在证明不等式时，通常需要构造辅助函数，如 g(x) = f(x) - 2ax - x^ea - 1，然后分析其单调性，找出其最小值，从而证明原不等式成立。这里通过求导、分析单调性及极值，证明了 f(x) ≥ 2ax - x^ea - 1。
4. 函数最值问题：
在闭区间上求函数的最值，可以先找到函数的临界点（导数为零的点）和端点值，然后比较这些点处的函数值来确定最值。例如，函数 f(x) = 1/2ax^2 - ln x 在 [1, e] 上的最小值为 1，通过求导找出可能的极值点和边界点，比较它们的函数值，可以求出 a 的值。
5. 凹槽问题与面积周长关系：
在实际问题中，数学模型可以用来描述物体的形状和性质。如题中凹槽的横截面面积 S 和周长有关，通过建立方程 4 = 2x + 2y + πx，可以得出 y = 4 - (2 + π)x^2，并进一步分析凹槽强度 T 与 x 的关系，寻找最大强度对应的 x 值。
6. 方程根的性质：
通过分析函数的极值和单调性，可以确定方程的根的数量。例如，证明 f(x) = (x - 1)ln x - x - 1 存在唯一极值点，并且有两个实根，这两个实根互为倒数。这需要利用导数来判断函数的单调性，结合极值点和函数的值域来确定根的存在性和个数。
7. 函数单调性的综合应用：
题目中的多个问题都涉及到函数单调性的应用，包括利用导数判断单调区间、求极值点以及最值问题。这些都需要对导数的性质有深入的理解和熟练的运用。
8. 不等式与导数的综合应用：
在证明 f(x) ≥ 2ax - x^ea - 1 这一不等式时，不仅需要用到导数来分析函数单调性，还涉及到构造辅助函数和求其最值，这展示了导数在解决不等式问题中的重要作用。
这些题目涵盖了导数的计算、单调性分析、极值点求解、函数最值问题、不等式证明、方程根的性质等多个核心数学概念，是高考数学复习中重要的训练内容。
