等比数列是高中数学中的重要概念，尤其在高考备考中占据着不可或缺的地位。本课件聚焦于2021年高考数学一轮复习的第六章数列中的等比数列及其前n项和，旨在帮助学生理解和掌握相关知识点。
1. **等比数列的定义**：等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项之比为一个常数的数列。用数学符号表示，如果数列的第n项an满足an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是非零常数，那么该数列就是等比数列。
2. **等比中项**：在数列a，G，b中，如果G的平方等于a和b的乘积，即G^2 = ab，那么G被称为a和b的等比中项。
3. **等比数列的通项公式**：等比数列的第n项an可以用首项a1和公比q来表示，即an = a1 * q^(n-1)。
4. **等比数列的前n项和公式**：对于公比不等于1的情况，等比数列的前n项和Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
5. **等比数列的性质**：
- 通项公式的推广：an = am * q^(n-m)，适用于任意m，n。
- 如果m+n=p+q，那么an * am = ap *aq。
- 当公比q不等于1时，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比数列，满足(S2m-Sm)^2 = Sm * (S3m-S2m)。
- 数列{pan}（p为非零常数）也是等比数列。
- 等距离取出的若干项仍构成等比数列，其公比为原数列公比的相应倍数。
6. **等比数列的其他重要结论**：
- λ倍的等比数列、偶数项或奇数项组成的数列仍然是等比数列。
- 等比数列各项的k次幂构成新的等比数列，新公比是原公比的k次幂。
- 若a1*a2*...*an = Tn，那么Tn，T2n/Tn，T3n/T2n，...成等比数列。
- 当q≠0且q≠1时，Sn=k/(1-q)是等比数列的充要条件，k=a1/(1-q)。
7. **基础自测**：
- 错误的结论包括：从第二项起比是常数的数列不一定是等比数列（如摆动数列），三个数成等比数列并不意味着b^2=ac（还需要考虑a，c的顺序），仅满足an+1=qan的数列不一定是等比数列（需要排除a1=0，q=0的情况），等比数列的偶数项加奇数项不一定是等比数列，等比数列中不能有数值为0的项。
8. **例题解析**：
- 给定等比数列a2=2，a5=14，求公比q，解得q=1/2。
- 在9与243之间插入两个数形成等比数列，计算得插入的数为27和81。
- 当S2=3，S4=15时，利用等比数列性质计算得S6=63。
通过深入学习这些内容，学生可以更好地理解等比数列的概念，掌握通项公式和求和公式，以及如何运用等比数列的性质解决问题，从而在高考中应对与等比数列相关的题目。
