在高中数学复习中，平面解析几何的第9章主要探讨了圆的方程及其相关概念。以下是关于这个主题的关键知识点：
1. **圆的定义**：平面内到一定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合构成一个圆。
2. **确定圆的要素**：圆心和半径是确定一个圆必不可少的两个因素。圆心是圆上的所有点到其等距的固定点，半径是从圆心到圆上任何一点的距离。
3. **圆的标准方程**：标准形式为`(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2`，其中`(a, b)`是圆心坐标，`r`是半径。这个方程描述了以`(a, b)`为中心，半径为`r`的圆。
4. **圆的一般方程**：一般形式为`x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0`。若`D^2 + E^2 - 4F > 0`，则该方程表示一个圆。圆心坐标可以通过公式`(-D/2, -E/2)`得到，半径`r`等于`sqrt(D^2 + E^2 - 4F)`。
5. **点与圆的位置关系**：
- 点在圆上当且仅当该点到圆心的距离`d`等于半径`r`，即`(x0 - a)^2 + (y0 - b)^2 = r^2`。
- 点在圆外时，`d > r`，即`(x0 - a)^2 + (y0 - b)^2 > r^2`。
- 点在圆内则有`d < r`，即`(x0 - a)^2 + (y0 - b)^2 < r^2`。
6. **求解圆的方程策略**：利用几何性质可以简化计算，如：切线与过切点的垂直直线相交于圆心，圆心位于弦的中垂线上，以及两圆内切或外切时切点与圆心共线。
7. **例题解析**：
- 在2016年全国卷II中，通过计算圆心到直线的距离来找到参数`a`的值，这里`a = -4/3`。
- 2019年江西南昌模拟题中，原点在圆内意味着圆的半径平方小于原点到圆心的距离平方，从而求出`m`的范围为`(-2, 2)`。
- 方程表示圆的条件是判别式大于零，解不等式`3a^2 + 4a - 4 < 0`得`a`的范围为`(-2, 2/3)`。
- 圆心在y轴上的圆通过点(3,1)并与x轴相切，设圆心`(0, b)`，半径`|b|`，代入点坐标解得`b = 5`，圆的方程为`x^2 + y^2 - 10y = 0`。
- 2019年福建厦门模拟题中，利用中点坐标公式找到中点轨迹方程，结果是`(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1`。
这些知识点是解决与圆相关的数学问题的基础，对于理解和解答高考中的相关题目至关重要。通过理解和应用这些概念，学生可以有效地解决涉及圆的方程、点与圆的位置关系，以及求解特定条件下圆的方程等问题。
