平面直角坐标系是数学中用来表示二维空间点位置的重要工具。在这个系统中，每个点的位置由一对有序的实数（x，y）唯一决定，称为该点的坐标。坐标平面被分为四个象限，分别是第一象限（x>0, y>0）、第二象限（x<0, y>0）、第三象限（x<0, y<0）和第四象限（x>0, y<0），以及两个特殊的轴：x轴和y轴。
1. **有序实数对与点的关系**：一个点在坐标平面中的位置与一个有序实数对一一对应。例如，点A（-2，1）位于第二象限。
2. **象限判断**：根据坐标值的正负，可以判断点所在象限。例如，点A（-2，1）在第二象限，点（-1，-2）在第三象限。
3. **对称点的坐标**：关于x轴对称的点，其y坐标取相反数；关于y轴对称的点，x坐标取相反数；关于原点对称的点，x和y坐标都取相反数。所以点A（-2，-3）关于x轴的对称点坐标是（-2，3），关于y轴的对称点坐标是（2，-3），关于原点的对称点坐标是（2，3）。
4. **象限内的坐标关系**：若点P（3x-1，2-x）在第四象限，意味着3x-1>0且2-x<0，解得x的取值范围是x>2。
5. **象限的分布**：点A（-3，2）在第二象限，点D（-3，-2）在第三象限，点C（3，2）在第一象限，点E（0，2）在y轴上，点F（2，0）在x轴上。
6. **象限规则**：对于点M(a，b)，a>0，b>0时在第一象限；a<0，b>0时在第二象限；a<0，b<0时在第三象限；a>0，b<0时在第四象限。
7. **对称性质的扩展**：点P（a，b）在第四象限，其对称点Q（b，-a）在第二象限。
8. **距离坐标轴的点**：点P（x，0）到y轴的距离是x的绝对值，因此若点P到y轴的距离为3，则点P的坐标可能是（3，0）或（-3，0）。
9. **距离计算**：点P（1，-4）到x轴的距离是y坐标的绝对值，即4；到y轴的距离是x坐标的绝对值，即1。对于点P（a，b），到x轴的距离是b的绝对值，到y轴的距离是a的绝对值。
10. **在坐标轴上的点**：点A在y轴上，距离原点4个单位，坐标是（0，4）或（0，-4）。点A在y轴右侧，距离y轴4个单位，距离x轴3个单位，坐标是（4，3）。
11. **坐标求解**：在长方形ABCD中，已知A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则D点的坐标可以通过观察长方形的对边平行和相等来确定，D点坐标为（-4，3）。
12. **平移变换**：平移涉及到点的坐标变化。例如，从（3，-1）平移到（-1，4）需要向左平移4个单位，向上平移5个单位。
13. **坐标平移**：平移点（3，-1）向左3个单位，向下5个单位，得到（0，-6）；向右3个单位，向上5个单位，得到（6，4）；点（2，5）向上平移3个单位，得到（2，8）；点（-2，5）向下平移3个单位，得到（-2，2）。
14. **平移对应点**：如果点A（-2，3）的对应点C（3，6），那么点B（-5，-2）的对应点D的坐标可以通过同样的平移规律得到，即D的x坐标是-5+5=0，y坐标是-2+9=7，所以D的坐标是（0，7）。
15. **象限与坐标特征**：根据坐标值的正负，我们可以判断点位于哪个象限。例如，若a>0，b<0，则点M在第四象限；点P（-2，5）在第二象限；点B（-5，-2）在第三象限；点A（2，m）在x轴上，则m=0，所以B（m-1，m+1）在第二象限。
以上内容详细阐述了平面直角坐标系中的基本概念、象限规则、对称点的坐标计算、距离轴的距离、平移变换等知识点，涵盖了七年级数学下册第七章平面直角坐标系的重点内容。通过这些知识点的学习，学生可以更好地理解和应用坐标系解决问题。
