【二元一次方程组及其应用】
二元一次方程组是初中数学中的核心概念，它涉及两个变量和两个线性方程。在解决实际问题时，二元一次方程组能够帮助我们找到两个未知数的关系，从而得出精确的解决方案。
1. **城镇与农村人口的增长问题**
城镇人口为x万，农村人口为y万。题目给出的条件是总人口增加1%，城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%。可以建立以下方程组：
\[ \begin{cases} x + y = 420000 \\ 0.008x + 0.011y = 420000 \times 0.01 \end{cases} \]
解这个方程组可以得到城镇和农村的人口数量。
2. **汽车生产任务**
设预定期限为x天，计划生产y辆汽车。根据题意，我们可以列出以下两个方程：
- 每天生产35辆，差10辆：\[ 35x + 10 = y \]
- 每天生产40辆，多20辆：\[ 40x - 20 = y \]
结合这两个方程，我们可以解出预定期限x和计划生产的汽车数量y。
3. **火车行驶问题**
快车每秒行驶x米，慢车每秒行驶y米。
- 同向行驶时，快车20秒内比慢车多走70米：\[ 20x - 20y = 70 \]
- 相向行驶时，两车4秒内共同行驶的距离为150米：\[ 4x + 4y = 150 \]
解这个方程组，我们可以得到快车和慢车的速度。
4. **货车运输问题**
设甲种货车载重x吨，乙种货车载重y吨。根据两次运输数据，我们可以列出方程组：
- 第一次运输：\[ 2x + 3y = 15.5 \]
- 第二次运输：\[ 5x + 6y = 35 \]
解这个方程组，我们可以得到甲乙两种货车的载重量。然后根据3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好运完货物，可以计算出总共的运费。
通过上述四个问题，我们可以看到二元一次方程组在解决实际问题中的应用，如人口统计、生产计划、交通问题和物流管理等。在实际应用中，正确理解题意，合理设定变量，建立恰当的方程组是解决问题的关键。解方程组时，可以采用代入法、消元法或图形法，找到未知数的值。在解决实际问题时，还需注意单位的一致性和数据的准确性。
