竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下只讨论最高点和最低点的情况。模型 1 轻绳模型，如图所示，细绳系的小球或在光滑轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，即 mg＝mv2r，则 v＝gr。在最高点时：①v＝gr时，拉力或压力为零．②v>gr时，物体受向下的拉力或压力．③v<gr时，物体不能达到最高点。
典例 1：一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量 m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l＝50 cm，g 取 10 m/s2。求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(2)若在最高点水桶的速率 v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。
解析：(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg＝mv20l则所求速率即为桶的最小速率：v0＝gl＝5 m/s≈2.24 m/s。(2)在最高点水桶的速率 v＝3 m/s>2.24 m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，- 则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝mv2l代入数据可得：FN＝4 N由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN′＝4 N。
答案：(1)2.24 m/s (2)4 N
变式训练 1：如图所示，在竖直平面内有一半径为 R 的半圆形轨道，最高点为 P 点，现让一小滑块(可视为质点)从水平地面上向半圆形轨道运动，下列关于小滑块运动情况的分析，正确的是( )A．若 vP＝0，小滑块恰能通过 P 点，且离开 P 点后做自由落体运动B．若 vP＝0，小滑块能通过 P 点，且离开 P 点后做平抛运动C．若 vP＝gR，小滑块恰能到达 P 点，且离开 P 点后做自由落体运动D．若 vP＝gR，小滑块恰能到达 P 点，且离开 P 点后做平抛运动
解析：要使物体能通过最高点，则由 mg＝mv2R 可得：vP＝gR，即若速度小于gR，由于重力大于物体需要的向心力，物体将做“向心”运动，物体将离开轨道，无法达到最高点，若大于等于gR，则可以通过最高点做平抛运动，选项 D 正确．答案：D
模型 2 轻杆模型，如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形光滑轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度大于或等于零．在最高点小球的受力情况为：①v＝0 时，小球受向上的支持力 FN＝mg.②0<v<gr时，小球受向上的支持力 FN 满足 0<FN<mg.③v＝gr时，小球除受重力之外不受其他力．④v>gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．即杆类的临界速度为 v 临＝0.
典例 2：如图所示，长为 L＝0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直面内做匀速圆周运动，A 端连着一个质量为 m＝2 kg 的小球，g 取 10 m/s2.(1)如果在最低点时小球的速度为 3 m/s，杆对小球的拉力为多大？(2)如果在最高点杆对小球的支持力为 4 N，杆旋转的角速度为多大？
解析：(1)小球在最低点受力如图甲所示，合力提供向心力，则 F1－mg＝mv2L，解得 F1＝56 N.(2)小球在最高点受力如图乙所示，则 mg－F2＝mω2L，解得 ω＝4 rad/s.
答案：(1)56 N (2)4 rad/s
变式训练 2：如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散．设想如下数据，轨道最高处离地面 32 m，最低处几乎贴地，圆环直径 15 m，过山车经过最高点时的速度约 18 m/s.在这样的情况下能否保证乘客的安全呢？(g 取 10 m/s2)
解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速度为临界速度．此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有mg＝mv2R， 可得 v＝gR＝55 m/s由 55 m/s<18 m/s 可知，这种情况下过山车和人一定能安全地通过顶点，绝对安全，不必担心．答案：绝对安全
变式训练 3：(多选)如图所示，A 是用轻绳连接的小球，B 是用轻杆连接的小球，两球都在竖直面内做圆周运动，且绳、杆长度 L 相等．忽略空气阻力，下列说法中正确的是( )A．A 球通过圆周最高点的最小速度是gLＢ．B 球通过圆周最高点的最小速度为零C．B 球到最低点时处于超重状态D．A 球在运动过程中所受的合外力的方向总是指向圆心
解析：A 球在最高点的临界情况是绳子拉力为零，根据 mg＝mv2L，可知在最高点的最小速度为gL，由于杆可以提供拉力，也可以提供向下的压力，故 B 球可以通过圆周最高点的速度可以小于gL，故Ｂ正确；Ａ错误。B 球到最低点时因为杆的支持力，所以不一定处于超重状态，Ｃ错误。Ａ球在运动过程中所受的合外力的方向可能是指向圆心，也可能不是，Ｄ错误。
