【知识点详解】
1. **分类讨论**：在数学问题中，分类讨论是一种常见的解题方法，它要求我们根据不同的情况分别进行分析。例如在题目中，寻找使△ABC成为直角三角形的点C，我们需要考虑不同的角度关系，可能是∠ACB=90°，或者∠ABC=90°，甚至可能是∠BAC=90°，这需要对点C的位置进行分类讨论。
2. **直角三角形**：直角三角形是三角形的一种，其中一个内角为90度。在坐标系中，如果一个三角形的三个顶点都在坐标轴上，可以通过坐标来判断是否为直角三角形，例如通过两点间距离和垂直关系来确定。
3. **直线方程**：直线的方程通常可以表示为y=mx+b的形式，其中m是斜率，b是y轴截距。在题目中，直线y=-x+2和y=x-代表了两条特定的直线，我们可以利用这些方程找到点的位置和性质。
4. **圆的性质**：等腰△ABC内接于半径为5cm或10cm的圆，这意味着圆心O到三角形的每个顶点的距离相等，根据圆的性质，可以推断出某些几何关系，如角平分线、垂径定理等，有助于求解三角形的面积和边长。
5. **抛物线的性质**：抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a决定开口方向，b和c决定位置。题目中的点A(1，0)和B(4，0)是抛物线与x轴的交点，通过这两个点可以求解出a、b的值。此外，点C是抛物线与y轴的交点，其坐标为(0,c)。
6. **面积的计算**：在几何问题中，常常需要计算图形的面积，如三角形、矩形、圆形等。对于三角形，面积可以用底乘以高除以2来计算。在题目中，要求等腰三角形ABC的面积以及涉及抛物线的三角形面积，需要结合具体条件进行计算。
7. **二次函数的解析式**：通过已知的两个点，可以使用待定系数法求出二次函数的解析式。题目中的点A(1，0)和B(4，0)位于抛物线上，可以代入方程求解a和b。
8. **对称轴上的点**：对于抛物线y=x^2+bx+c，其对称轴是x=-b/(2a)。在题目中，我们需要找一个点M在对称轴上，使得△ABM为等腰三角形，这可能涉及到点M的纵坐标与AB的距离关系。
9. **等腰三角形的性质**：等腰三角形有两个等边，这意味着它的两个底角相等。在题目中，当讨论△ABM是否为等腰三角形时，我们需要考虑AB两侧的角是否相等，以及AM和BM的长度关系。
10. **点的坐标**：在题目中，求解点C、点P、点M的坐标，通常需要通过解方程或应用几何关系来完成。对于点P，当其与△ABC的两个顶点构成的三角形面积等于△ABC时，需要通过面积公式建立等式求解。
这些题目涵盖了初中数学中的一些核心概念，包括分类讨论、直角三角形、直线方程、圆的性质、抛物线的性质、面积计算、二次函数的解析式、对称轴上的点、等腰三角形的性质以及点的坐标求解。在解答这些问题时，需要灵活运用这些知识点，并具备一定的逻辑推理能力。
