等比数列是高中数学中的一个核心概念，它在数列理论、概率论以及实际问题的解决中都有着广泛的应用。本学案主要针对湖南省茶陵县高中数学学考复习，聚焦于等比数列的相关知识。
一、基本概念
1. **等比数列定义**：如果一个数列{an}的任意连续两项之比是一个常数q（q≠0），即an+1/an=q，那么这个数列就称为等比数列，q称为公比。
2. **通项公式**：等比数列的第n项an可以由首项a1和公比q表示为an=a1*q^(n-1)。
3. **求和公式**：等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，前提条件是q≠1。
4. **等比中项公式**：如果a，G，b成等比数列，那么有G^2=ab。
5. **性质**：在等比数列{an}中，若m+n=p+q，那么am*an=ap*aq。
二、历年试题解析
1. **2013年试题**：根据等比数列的性质，可以得出1, x, 9x构成等比数列，从而解出x的值。
2. **2014年试题**：利用等比数列的通项公式和等差数列的性质，可以求出a1和an，再构造新的数列{bn}，计算其前5项和S5。
三、典型例题
1. **例1**：通过等比数列的定义和通项公式，可以分别求出公比q和首项a1，然后得到具体数值。
2. **例2**：首先解出数列{an}的通项公式，然后构造数列{bn}，并求出其前n项和nS。
3. **例3**：首先求出数列{an}的前几项，再根据数列为等比数列确定常数a的值，最后求解λ的取值范围以满足不等式。
四、巩固训练
1. **题目**：通过已知的等式关系，可以推导出数列的通项公式，进一步求出第一项a1和前n项和Sn。
2. **题目**：利用韦达定理找出3a和5a的值，结合等比数列性质求出4a。
3. **题目**：已知两条件，可以列出关于公比q的方程，解出q和a1，进而得到an。
4. **题目**：先求出数列{an}的通项公式，再根据所给的条件构造数列{nb}，计算其前n项和nS3。
通过以上学习，学生应能掌握等比数列的基本概念，熟练运用等比数列的通项公式和求和公式解决相关问题，同时理解和应用等比数列的性质，例如等比中项和项的关系。对于学考复习，应重点练习历年试题，巩固所学知识，提高解题能力。
