【知识点详解】
1. **正弦函数的基本概念**：正弦函数是三角函数的一种，通常表示为 \( y = \sin(x) \)，其中 \( x \) 是角度，\( y \) 是对应的角度在单位圆上的纵坐标。
2. **周期性**：正弦函数具有周期性，其周期为 \( 2\pi \)。这意味着对于任何 \( x \)，都有 \( \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) \)，其中 \( k \) 是任意整数。
3. **最小正周期**：在题目中，函数 \( f(x) = \sin(\frac{x}{2}) \) 的最小正周期是 \( 4\pi \)，这是通过公式 \( T = \frac{2\pi}{|\omega|} \) 计算得出的，其中 \( \omega = \frac{1}{2} \)。
4. **单调性**：正弦函数在每个周期内都有一个单调递增区间和一个单调递减区间。例如，函数 \( y = \cos(2x) \) 的单调递增区间是 \( [2k\pi - \pi, 2k\pi] \)，这是因为 \( \cos(2x) \) 可以转换为 \( -\sin(x) \)，而 \( \sin(x) \) 的递减区间就是 \( \cos(2x) \) 的递增区间。
5. **值域**：正弦函数的值域是 \( [-1, 1] \)。在函数 \( y = \frac{1}{2}\sin(x) \) 中，值域相应地缩小到 \( [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \)。
6. **奇偶性**：正弦函数是奇函数，满足 \( \sin(-x) = -\sin(x) \)。
7. **函数的最值**：在给定区间内，正弦函数的最大值和最小值取决于角度。例如，\( y = a\sin(x) - b \) 的最大值和最小值可以通过分析 \( \sin(x) \) 的最值和常数项 \( a \) 和 \( b \) 来确定。
8. **三角恒等变换**：在问题中，例如 \( \sin(168^\circ) = \sin(180^\circ - 12^\circ) = \sin(12^\circ) \) 和 \( \cos(10^\circ) = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \sin(80^\circ) \)，利用了三角恒等式进行角的转化。
9. **周期函数的性质**：如果一个函数是周期函数，如 \( f(x) = 2\sin(\omega x) \)，其最小正周期可以用来找到特定区间的函数值。例如，如果 \( f(x) \) 在区间 \( [0, \frac{\pi}{2\omega}] \) 内达到最小值，那么 \( \omega \) 的最小值为 \( \frac{2\pi}{2} = \pi \)。
10. **偶函数和周期函数**：当一个定义在实数集上的函数既是偶函数又是周期函数时，其周期必须是偶数个周期单位。比如函数 \( f(x) \) 最小正周期为 \( \pi \) 并且在区间 \( [0, \pi] \) 上的表达式为 \( f(x) = \sin(x) \)，那么 \( f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = f(x) \)，所以 \( f(x) \) 也是偶函数。
11. **复合函数的最值**：对于 \( f(x) = \sin^2(x) - \sin(x) \) 或 \( f(x) = 2\sin(\frac{x}{2}) \)，可以通过二次函数或三角函数的性质来确定函数的最大值和最小值，同时考虑自变量的范围。
12. **数列求和**：当函数具有周期性时，求和问题可以通过分析函数在一个完整周期内的和来解决。例如，求 \( f(1) + f(2) + \ldots + f(2018) \) 的值，可以先找出函数在一个周期内的和，然后根据周期性计算总和。
本节内容主要涵盖了正弦函数的周期性、单调性、最值、周期函数的性质以及如何应用这些性质来解决实际问题，如求函数值、确定单调区间、计算函数和等。这些都是高中数学中关于三角函数的重要知识点。
