在这样的常数 \( a \) 和 \( b \)，使得对于一切正整数 \( n \)，都有 \( a_n = \log_a b_n + b \) 成立。由(1)知等差数列 \( \{a_n\} \) 的公差 \( d = 2 \)，等比数列 \( \{b_n\} \) 的公比 \( q = 3 \)。
则 \( a_n = 1 + (n - 1) \cdot 2 \) 且 \( b_n = 1 \cdot 3^{n - 1} \)。
将这两个表达式代入 \( a_n = \log_a b_n + b \) 中，得到：
\[ 1 + 2(n - 1) = \log_a (1 \cdot 3^{n - 1}) + b \]
化简得：
\[ 2n - 1 = \log_a 3^{n - 1} + b \]
\[ 2n - 1 = (n - 1) \log_a 3 + b \]
由于上式对所有正整数 \( n \) 都成立，比较两边的系数，我们有：
1. 常数项：\( -1 = b \)
2. \( n \) 的系数：\( 2 = \log_a 3 \)
解第二个方程得到 \( a \)：
\[ a^2 = 3 \]
\[ a = \sqrt{3} \text{ 或 } a = -\sqrt{3} \]
但是因为对数的底 \( a \) 必须大于 0 且不等于 1，所以 \( a = -\sqrt{3} \) 不符合要求，因此 \( a = \sqrt{3} \)。
所以存在常数 \( a = \sqrt{3} \) 和 \( b = -1 \)，使得对于一切正整数 \( n \)，都有 \( a_n = \log_{\sqrt{3}} b_n - 1 \) 成立。
总结本篇内容，主要涉及到等比数列的知识点包括：
1. 等比数列的定义及通项公式：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
2. 公比的计算：\( q = \frac{a_n}{a_{n-1}} \)，其中 \( q \) 是公比。
3. 等比数列的性质：若 \( m, n \) 是正整数，且 \( m+n=p+q \)，则 \( a_ma_n=a_pa_q \)。
4. 等比数列的前 \( n \) 项乘积的对数性质：\( \log_b(a_1a_2\ldots a_n) = \log_b{a_1} + \log_b{a_2} + \ldots + \log_b{a_n} \)。
5. 判断数列是否为等比数列的方法，通过验证相邻项之间的比是否为常数来确定。
6. 解等比数列相关的方程组，例如通过 \( a_n \) 的关系找出公比 \( q \)。
7. 等比数列的前 \( n \) 项和的公式：\( S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \)，其中 \( q \neq 1 \)。
在这些题目中，学生需要运用这些知识来解决问题，例如找到等比数列的公比、求和、解决与等比数列相关的方程等。同时，等比数列的概念和性质也被应用到等差数列和等比数列的混合问题中，展示了数列在数学中的广泛应用。
