本文主要涉及初中九年级数学的一元二次方程及其应用，包括解方程、方程的形式转换、判别式以及方程根的相关性质。
1. 方程的解：(5x－2) (x－7)＝9 (x－7) 可以简化为 (5x－2－9) (x－7) = 0，从而得出解 x = 7 或 x = 2.2/5.
2. 方程 23x^2－2a＝0 的一个解是 2，代入得 2a = 2 * 23 * 2，即 2a－1 = 46 - 1 = 45.
3. 若方程 2/3y^2 - y + 2/3 = 0 有一个根是 y = 2，则代入得 a = 2/3 * 2^2 - 2 + 2/3 = 4/3 - 2 + 2/3 = 0. 所以方程 2/3x^2 - p = 0 的解为 x = ±√p/a = ±√p/0 = 无解，因为分母不能为0.
4. 一元二次方程的标准形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。根据定义，只有①9x^2 = 7x, ③3y(y - 1) = y(3y + 1), ⑤2(x^2 + 1) = 10 符合一元二次方程的定义。因此，正确答案是 B. ①③⑤.
5. 方程 (4x＋1)(2x－3)＝5x^2＋1 展开后整理为 8x^2 - 10x - 4 = 5x^2 + 1，即 3x^2 - 10x - 5 = 0，所以 a = 3, b = -10, c = -5，正确答案是 A. 3，－10，－4.
6. 一元二次方程 2x^2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化简后为 2x^2 - (m + 1)x + 1 = x^2 - x，即 x^2 - (m - 1)x + 1 = 0，要求二次项系数为 1，一次项系数为 -1，所以 m - 1 = -1，解得 m = 0，但选项中没有该值，因此题目可能有误.
7. 解方程：
(1) x^2 - 5x - 6 = 0 可以因式分解为 (x - 6)(x + 1) = 0，解为 x = 6 或 x = -1.
(2) 3x^2 - 4x - 1 = 0 使用公式法，x = [4 ± √(16 - 4*3*(-1))] / (2*3)，解得 x = (4 ± √20) / 6.
(3) 4x^2 - 8x + 1 = 0 用配方法，x^2 - 2x + 1/4 = 1 - 1/4，即 (x - 1)^2 = 3/4，解得 x = 1 ± √3/2.
(4) x^2 - 2√2x + 1 = 0 同样使用公式法，x = [2√2 ± √((2√2)^2 - 4*1*1)] / 2，解得 x = √2 ± 1.
8. 设月增长率为 r，根据题意，50 * (1 + r)^2 + 50 * (1 + r) = 182，化简后求解 r，得到 r ≈ 0.24，即月增长率为 24%.
9. 设花园面积为 S，荒地面积为 L * W = 16 * 12 = 192 平方米。由题意，S = L * W / 2 = 96 平方米。小明方案中，如果小路宽度为 2m，那么花园面积为 (16 - 4) * (12 - 4) = 96 平方米，符合要求。小颖方案中，假设扇形半径为 x，那么 πx^2 / 4 = 96 / 2，解得 x ≈ 5.5m.
10. 设方程 2x^2 + 4x - 3 = 0 的两个根为 x1 和 x2，则 (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + x1 + x2 + 1 = -3/2 - 2 + 1 = -2.5，x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (-2)^2 - 2*(-3/2) = 4 + 3 = 7，1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / x1x2 = -2 / (-3/2) = 4/3，(x1 - x2)^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1x2 = 4 - 4*(-3/2) = 10.
11. 当 c = 0 时，方程 2x^2 + 8x = c 可以写为 2x^2 + 8x = 0，这是显然的一元二次方程，有实数根 x = 0.
12. 对于方程 2(2x^2 - 1) - (ax - b)^2 = 0，其判别式等于 0 意味着 (2a)^2 - 4*2*(2 - b^2) = 0，解得 b^2 = 2. 又因为 1/2 是方程的根，代入得 (a/2 - b)^2 = 0，解得 a = b. 故 ab + b^2 = 2b^2 = 2 * 2 = 4.
13. 设 ab 是方程 2x^2 + (2k - 1)x + k = 0 的两个实数根，由韦达定理知，2ab = k，ab的最小值为0，此时k = 0，此时方程变为 2x^2 - x = 0，有实数根，所以2ab的最小值为0.
14. 由于α，β是方程 2x^2 + (2m - 3)x + m = 0 的根，由韦达定理知 α + β = - (2m - 3)/2，αβ = m，由1/α + 1/β = 1/αβ，代入得 1/α + 1/β = 1/m，又由 1/(α + β) = 1/(3 - 2m)，联立可解得 m = 1 或 m = 3. 但是，当 m = 1 时，方程变为 2x^2 - x + 1 = 0，判别式小于0，无实根，所以 m = 3.
15. 设方程 3x^2 - 10x + c = 0 的两个根分别为 x1 和 x2，那么 x1 + x2 = 10/3，x1x2 = c/3，由221212x xx x= x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (10/3)^2 - 2c/3，代入x1 + x2 = 10/3，x1x2 = c/3，可以解出 c 的值，进而求得221212x xx x的值.
以上内容详细解释了与一元二次方程相关的多项知识点，包括解方程、方程的性质、判别式、韦达定理的应用以及增长率问题等。这些知识点是初中数学中的核心内容，对于理解数学概念和解决问题具有重要作用。
