函数的奇偶性是高中数学中的重要概念，主要涉及函数性质的研究。在高考数学复习中，这个主题常常作为考察的重点。奇函数与偶函数的定义是：如果一个函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则它是一个偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则它是一个奇函数。
1. 函数y = -x^3在实数集R上既是奇函数也是减函数。因为f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = -f(x)，所以它是奇函数，同时它的导数y' = -3x^2 ≤ 0，说明函数在整个定义域上递减。
2. 函数f(x) = sin2x是奇函数，但不是在整个实数集上递减。由于正弦函数是奇函数，sin(-x) = -sin(x)，所以f(x) = sin2x也是奇函数。然而，由于2x的周期性，函数在某些区间上是增函数，而在其他区间上是减函数。
3. 对于函数f(x) = 2^x，它不是奇函数也不是偶函数，因为2^(x) ≠ 2^(-x)且2^(x) ≠ -2^(-x)。
4. 函数f(x) = - 是一个奇函数，因为f(-x) = -(-x)^(-1) = x^(-1) = -f(x)。
5. 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x) = ，那么f(π/2) = f(π/2 - 2)。由于f(x)是奇函数，所以f(-x) = -f(x)。同时，由于周期性，f(x+2k) = f(x)，其中k是整数。所以f(π/2) = f(π/2 - 2) = -f(2 - π/2)。
6. 函数f(x)在R上是奇函数，f(x+2) = -f(x)表明函数周期为4。若f(1) = 1，那么f(3) = -f(1) = -1，f(4) = -f(0) = 0，因此f(3) - f(4) = -1 - 0 = -1。
7. 函数f(x) = 的图象关于原点对称，意味着它是奇函数，因为f(-x) = (-x)^(1/3) = -x^(1/3) = -f(x)。
8. 定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，若x1+x2<0，x2+x3<0，x3+x1<0，这表明x1，x2，x3都在原点左侧，根据奇函数性质f(-x) = -f(x)，我们可以推断f(x1)+f(x2)+f(x3) < 0。
9. 由f(x+1) + f(x) = 3，可以推断出f(x)的周期为2。当x∈[0，1]时，f(x) = 2-x，所以f(2005.5) = f(0.5) = 2 - 0.5 = 1.5。而f(-2005.5) = -f(2005.5) = -1.5。
10. 选项①是奇函数的定义，②是错误的，因为f(-x) - f(x) = 0对于奇函数，③奇函数乘积为非负，正确，④是奇函数的性质，因为f(-x) = -f(x)，所以 = -1，正确。
11. 若函数f(x) = 是奇函数，那么x^2 > a对所有x使得f(x)>a都成立。解不等式x^2 > a，我们得到x < -√a或x > √a。
12. 题目要求求m的值，f(4) = 表明m=3，因为xm = 4m。然后根据奇函数的性质，f(-x) = -f(x)，可以判定函数的奇偶性，以及单调性的证明。
13. 为了解决这个问题，首先需要找到a和b的值使得f(x) = 是奇函数。接着，利用奇函数性质解决恒成立的不等式f(t2 - 2t) + f(2t2 - k) < 0。
通过这些题目，我们可以看出，理解并掌握函数的奇偶性、单调性、周期性及其应用是高考数学的重要考点。学生需要能够熟练地判断函数的奇偶性，分析函数的性质，以及解决相关的计算问题。
