【优化探究】2014高考数学总复习中提到的提素能高效题组训练,主要涉及了数学的证明方法和不等式处理技巧,包括反证法、分析法、不等式的应用以及函数的性质。以下是这些知识点的详细解释:
1. **反证法**:在证明“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,采用反证法,正确的反设是“a,b,c中没有偶数或至少有两个偶数”。这是因为“恰有一个”的反面是“没有或至少有两个”,这种方法是通过假设原命题的否定来推导出矛盾,从而证明原命题的真实性。
2. **分析法**:又称执果索因法,是寻找证明目标的必要条件。例如,在证明“<a”时,寻找的因是“(a-c)(a-b)>0”。通过逐步追溯条件,最终找到证明的起点。
3. **不等式处理**:例如题目中的平方和不等式,如AM-GM不等式(算术平均-几何平均不等式)的应用,展示了如何通过不等式来求解最值问题。例如,通过(a+1-x)² ≥ a² + b² + c² - 2ab - 2ac - 2bc,可以找到(a+1-x)² 的最小值,即(a+b+c)²/3,从而得到(a+b+c)²/3 ≥ a² + b² + c²。
4. **奇函数的性质**:奇函数f(x)在R上的单调性,如果x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)<0。这里利用了奇函数的性质f(-x)=-f(x)和单调性的定义,证明了f(x1)+f(x2)的符号。
5. **凸函数的性质**:凸函数的性质指出,如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于D内的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+...+f(xn)≤nf()。利用这个性质,可以找到三角形内角正弦之和的最大值,即sin A + sin B + sin C ≤ 3sin(π/3)=。
6. **不等式恒成立问题**:例如a+b≥μ的恒成立条件,通过均值不等式(a+b)/2 ≥ sqrt(ab),以及a+b=(a+b)²/2,可以找到a+b的最小值,进而确定μ的取值范围。
7. **逻辑推理**:题目列举了多个条件,如a+b>1,a²+b²>2,ab>1等,并提问哪些条件能推出“a,b中至少有一个大于1”。通过反例排除法,发现只有a+b>2能确保至少有一个大于1,因为a,b都小于或等于1的情况下,它们的和不可能大于2。
这些题目的解答展示了高中数学复习中对于逻辑推理、不等式证明、函数性质等核心概念的运用,旨在提高学生的数学素质和解题能力,为高考做好准备。通过这样的题组训练,学生能够深入理解和掌握数学的基本方法,提升分析问题和解决问题的能力。