在2014届高考数学一轮总复习中，双曲线作为解析几何的核心内容之一，是高考数学考察的重点。以湘教版为例，第九篇第五讲的课程设计旨在帮助学生全面掌握双曲线的概念、性质以及应用，进而提升解决相关问题的能力。
双曲线的标准方程是学习双曲线的基础。它的一般形式为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)和\(b\)分别表示实轴和虚轴的半长度。这个方程体现了双曲线与坐标轴的关系，以及它在不同象限的分布特性。理解并记住双曲线的标准方程对于后续学习至关重要。值得注意的是，\(c\)的值表示焦点到中心的距离，且满足\(c^2 = a^2 + b^2\)的条件。在实际问题中，可以通过已知点、线段长度或者其他相关信息，解出双曲线的具体参数。
双曲线的性质是高考数学考察的另一个重要方面。双曲线有两大焦点，并且有两组渐近线，它们的方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)。渐近线是双曲线无限接近但永远不相交的直线，它们对于确定双曲线的形状和位置有着重要作用。通过例题演示渐近线的性质和计算方法，学生可以更好地掌握双曲线的特性。
在几何性质的应用方面，双曲线的焦距、离心率、顶点坐标以及焦点坐标等概念的应用非常广泛。离心率\(e\)的定义为\(e = \frac{c}{a}\)，它是衡量双曲线形状特征的关键指标。通过离心率，可以推导出双曲线的焦点位置，进而解决与双曲线相关的距离、向量、角度等问题。
在解题过程中，双曲线与椭圆的关系也是一个重要的考察点。椭圆和双曲线都属于圆锥曲线，二者在几何属性上有许多相似之处，比如共享焦点。通过比较离心率的大小，我们可以发现双曲线与椭圆的离心率之间存在特定的数学关系，这对于解决一些涉及两者的综合问题十分有帮助。
此外，向量在分析双曲线问题中的作用也不容忽视。通过向量的概念，可以描述点与焦点之间的位置关系，例如计算向量积以确定两个向量的夹角。向量的引入不仅加深了对双曲线性质的理解，还拓展了解题的方法和思路。
在实际教学中，教师会通过大量的例题来巩固学生对双曲线标准方程的理解，通过对双曲线性质的分析和对几何关系的应用，加强学生对双曲线知识点的掌握。同时，通过双曲线与椭圆的关系对比，加深学生对圆锥曲线共性的理解。将向量与双曲线结合，不仅让学生体会到数学的美，而且锻炼了他们的空间想象力和逻辑推理能力。
总结来说，双曲线作为高考数学的重要知识点，不仅要求学生掌握其标准方程和性质，还要求能将所学知识灵活运用于解决实际问题。通过本讲的学习，学生应能够熟练地从已知条件推导出双曲线的方程，深入理解双曲线的几何性质，并能在高考数学中得心应手地解答涉及双曲线的题目。通过不断的练习和思考，学生在高考数学的复习过程中会逐渐建立起解题的信心和能力，为取得优异成绩打下坚实的基础。
