【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明 理 湘教版

在高中数学的学习与复习中，掌握不同的证明方法对于解题至关重要。直接证明与间接证明是数学论证的两大基石，分别对应着直接从已知条件出发推导出结论和通过假设命题的否定来间接证明原命题的正确性。2014届高考数学一轮总复习的第十二篇第2讲深入探讨了这两种证明方法，并结合具体的数学题目加以练习，以增强学生的逻辑推理和问题解决能力。 直接证明是数学中最为直观的证明方式，它以已知条件为起点，通过一系列严密的逻辑推理步骤得出结论。这种方式要求我们能够准确把握题设，并对所学的数学概念和定理有深刻的理解。比如，在复习中所举的第一个选择题例子，通过探讨两个实数a和b的关系，揭示了充分条件和必要条件的区别。在这个问题中，我们看到“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件，即在a和b之和为1的条件下，它们的乘积必然小于或等于1，但如果乘积小于或等于1，并不能保证a和b之和一定为1。通过这个例子，学生可以更好地理解充分与必要条件的概念，并掌握如何使用不等式进行逻辑推理。 与直接证明不同，间接证明方法中的反证法通过假设要证明的命题不成立，进而推导出与已知条件或事实相矛盾的结论，从而证实原命题的正确性。在复习的第二题中，我们遇到了平面几何的线面关系问题，如果直线m在平面α内，而直线n平行于平面α，那么m必然平行于n。这个问题涉及到了平行线与平面关系的基本定理，通过逻辑推理我们可以得出结论。而在解答题部分，第七题利用不等式理论和对数性质，证明了三个正数的几何平均数大于算术平均数，展现了直接证明的逻辑力量。 间接证明的另一种方法是归谬法，它是一种特殊的反证法，主要用于证明某个命题的否定不可能发生，从而确立命题的正确性。比如，在填空题部分，第五题要求使用反证法来证明这样一个命题：如果a和b是自然数，并且ab可以被5整除，那么a或b至少有一个能被5整除。通过设定一个与已知条件矛盾的假设，我们可以推导出不合理的结论，进而证明原命题的成立。 在数学的学习过程中，通过不断的练习和思考，学生能够深入理解这些基本的逻辑推理方法，并能够灵活运用到各种数学问题的解决中去。例如，解答题中的第八题探讨了等比数列前n项和的性质，通过逻辑推理证明了{Sn}在公比q不等于1时一般情况下不是等比数列，但在q=1时是等差数列。这一结论需要学生在理解等比数列和等差数列概念的基础上，通过精确的数学推导来得出。 直接证明与间接证明是高中数学复习中的关键内容，通过系统的复习和大量的练习题，学生能够掌握基本的逻辑推理技巧，并在高考中游刃有余地应对各类数学题目。通过这种系统性的复习，学生不仅能够巩固基础知识，还能够提高自己的逻辑思维能力，从而在数学的道路上走得更远。