【优化方案】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用模块综合检测 新人教A版选修2-2

【导数及其应用】是高中数学中的重要章节，主要探讨函数的变化率，是微积分的基础。在新人教A版选修2-2中，这一章节包括了导数的定义、导数的几何意义、物理意义以及如何利用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题。 1. **导数的几何意义**：导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率，反映了函数在这一点的变化趋势。例如，题目中提到的 `(ex＋2x)dx` 的积分就是 `(ex＋x^2)`，这涉及到导数的逆运算——不定积分，它可以帮助我们找到原函数。 2. **导数的应用**：在实际问题中，导数可以用来解决最优化问题，比如在函数的最大值或最小值点上，导数值为零。反证法证明“若(a－1)(b－1)(c－1)＞0，则 a，b，c 中至少有一个大于 1”的问题，就涉及到了利用不等式的性质和导数的概念来推理。 3. **复数与导数**：复数部分的题目展示了复数的运算法则，同时，尽管复数不涉及导数，但解题过程中运用的逻辑推理和分析方法与导数的证明相类似。 4. **求导法则**：题目中提到了几种求导错误，如 `(x＋)^' = 1 + ` 是错误的，正确的应该是 `(x＋)^' = 1 - `。掌握正确的求导法则对于理解函数的动态变化至关重要。 5. **数学归纳法**：在证明等式时，数学归纳法是一种常用的证明方法。例如，证明 `1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2=` 的过程中，需要用到数学归纳法的步骤。 6. **集合与函数的性质**：集合A和B的关系展示了集合论的基本概念，而函数的单调性则是通过导数来判断的。例如，函数 `f(x) = 1/(x^2+1)` 的单调增区间是通过求导后解不等式 `f'(x) > 0` 得出的。 7. **反证法**：在证明命题时，反证法是常用的证明策略。例如，证明 “若(a－1)(b－1)(c－1)＞0，则 a，b，c 中至少有一个大于 1”，应该假设它们都不大于1，然后推导出矛盾来证明原命题的正确性。 8. **数学归纳法的应用**：在数学归纳法的证明中，从 n=k 到 n=k+1，需要补充的项是 `(k+1)^2+k^2`，这体现了归纳法中从一个情况到下一个情况的递推过程。 9. **比较大小**：通过比较平方的形式来确定两个表达式的大小关系，如 `P = 1/(a+1) + 1/(a+2) + ... + 1/(a+n)` 和 `Q = 1/a + 1/(a+n+1) + ... + 1/(2a+n)`，这涉及到不等式和序列的性质。 10. **面积问题**：阴影部分的面积可以通过将不同区域的面积相加或相减得到，如 `[g(x)-f(x)]dx` 和 `[f(x)-g(x)]dx` 的和，这是对函数图像之间区域的理解和应用。 11. **函数的极值**：根据导数的符号变化判断函数的极值点，函数图像上的拐点对应着导数为零的点。例如，由函数 `(1-x)f'(x)` 图像推断函数 `f(x)` 的极值，需要考虑导数的正负变化。 这个章节的内容涵盖了导数的基础知识、应用技巧和解题策略，对高中生来说是理解和掌握高等数学的关键步骤。通过综合检测，学生可以检验自己对这些概念的理解程度和运用能力。