【函数与方程】在高中数学中，函数与方程是重要的基础概念。函数是描述两个集合之间一对一或一对多关系的数学工具，通常用y=f(x)的形式表示，其中x是自变量，y是因变量。方程则是表示两个表达式相等的关系，解方程就是找出使等式成立的变量值。
1. 对于方程 `lnx=6-2x`，我们可以通过构造辅助函数`f(x)=lnx+2x-6`来求解。若`f(a)f(b)<0`，则根据零点存在性定理，方程的根一定位于区间`(a, b)`内。题目中给出了`f(1)<0`，`f(4)>0`，因此根在`(1, 4)`区间。
2. 使用二分法求函数零点时，我们需要找到一个区间，使得函数在这个区间内的两个端点取相反符号的值，然后计算区间中点的函数值。题目中提到第一次计算`f(0)<0`，`f(0.5)>0`，所以零点在`(0, 0.5)`之间，第二次应计算`f(0.25)`。
3. 函数`f(x)=x+2x`和`g(x)=x+lnx`的零点分别是`x1`和`x2`。通过画图或比较导数，可以发现`f(x)`的零点在负半轴，而`g(x)`的零点在正半轴，所以`x1<x2`。
4. 函数`f(x)=x^3-4x+a`有三个零点`x1`, `x2`, `x3`，其中`x1 < x2 < x3`。由于三次多项式的中间零点对应的导数为零，且`f'(x) = 3x^2 - 4`，在`x=0`时导数为负，这意味着`x2`必须在`x=0`的右侧，即`0 < x2`。因为`f(0) = a > 0`，所以`x2`必须在`(0, 1)`之间，选项C正确。
5. 方程`ln|x-2|=m`的解`x1`和`x2`分别对应了函数`y=ln|x-2|`图像与直线`y=m`的交点。由于`y=ln|x-2|`图像关于`x=2`对称，所以`x1`和`x2`之和等于4，即`x1+x2=4`。
6. 偶函数`f(x)`满足`f(x+1)=f(x-1)`，意味着函数的周期为2。在`x∈[0,1]`时，`f(x)=x^2`，周期性扩展后，方程`f(x/10)=1`在`[0,10^3]`上的根是`x/10`在`[0,1]`内的平方根，共有3个，因为`1^2, 3^2, 5^2`都在区间内。
7. 函数`y=|1-x|+m`的图象与x轴有公共点，即`m=-|1-x|`有解。这意味着`m`的取值必须让`m`能取到`-1`，因为当`x=1`时`|1-x|=0`，所以`m`的取值范围是`m≤-1`。
8. 定义运算`a⊗b = min{a, b}`，函数`f(x)=(x^2-1)⊗(x-x^2)`。要使`y=f(x)-c`有两个不同零点，`f(x)`与`y=c`需有两个不同的交点。分析`f(x)`的性质，我们可以得出`c`的取值范围。
9. 证明如果二次函数`f(x)=ax^2+bx+c`有两个不等实根`x1`和`x2`，那么`f(x)`在`x1`和`x2`之间必有一个极值点。
10. 对于二次函数`f(x)=x^2+(2a-1)x+1-2a`，如果`f(x)=1`有实数根，即`x^2+(2a-1)x-2a=0`。利用判别式`Δ=b^2-4ac`，可以判断此方程的根的情况。
11. 当`y=f(x)`在区间`(-1,0)`和`(0,1)`内各有一个零点时，考虑`f(x)`的性质，如图象的开口方向和对称轴的位置，可以得出`a`的取值范围。
这些题目涵盖了函数的性质、方程的求解方法、二分法的应用、函数零点的存在性、奇偶性和周期性函数的理解、绝对值函数与方程的解、新定义运算的理解以及二次函数零点的分布等高中数学中的重要知识点。这些知识点不仅要求掌握基本概念，还需要灵活应用到具体问题中去。
