【五年经典推荐 全程方略】2015届高三数学 专项精析精炼 2010年考点8 三角恒等变换

【五年经典推荐 全程方略】2015届高三数学 专项精析精炼 2010年考点8 三角恒等变换 三角恒等变换是高中数学中的核心知识点，主要涉及三角函数的基本性质、公式及其在解决实际问题中的应用。此部分的内容主要包括以下几个方面： 1. **倍角公式**：倍角公式是三角恒等变换的基础，它将一个角的正弦或余弦表示为该角一半的正弦或余弦的函数。例如，sin 2x = 2sin x cos x 和 cos 2x = 1 - 2sin^2 x 或者 cos 2x = 2cos^2 x - 1。在解题时，这些公式可以用来降幂或者升幂，简化复杂的三角表达式。 2. **降幂公式**：这是倍角公式的一个逆用，例如1 - cos^2 x = sin^2 x，可以用来将高次幂的三角函数转换为低次幂，便于进一步的计算和化简。 3. **两角和差公式**：正弦和余弦的两角和差公式是解决三角问题的常用工具，如sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 和 cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B。它们在求解三角函数的和差、解决角度的相加减问题时非常有用。 4. **同角三角函数关系**：sin^2 θ + cos^2 θ = 1，以及tan θ = sin θ / cos θ，cot θ = 1 / tan θ，这些关系在解决三角函数的值或证明恒等式时经常被用到。 5. **周期性与最值**：三角函数具有周期性，例如sin x 和 cos x 的最小正周期都是2π。在一定区间内，可以找到三角函数的最大值和最小值，这对于求解函数的性质和范围至关重要。 在具体题目中，例如2010年福建高考文科和理科的题目，都考察了三角恒等变换的应用。第一题通过降幂公式简化表达式，第二题使用两角差的正弦公式求解，第三题结合余弦和正弦的两倍角公式及同角三角函数关系解题，第四题通过化一公式确定函数的周期，第五题利用余弦定理解决三角形问题，第六题则综合运用了二倍角公式、两角和的正弦公式以及函数的性质。 在解答这类问题时，考生需要熟练掌握各种三角恒等变换公式，灵活运用并进行适当的变形，以便准确快速地解决问题。同时，对于常见的三角函数值，如sin 30°、sin 45°、cos 30°、cos 45°等，也应该熟记于心，以便于快速计算。在解决实际问题时，不仅要理解公式背后的几何意义，还要能够根据题目条件选择合适的公式和方法进行求解。