【导数的应用】在高中数学中，导数是微积分中的基础概念，它用来描述函数在某一点上的瞬时变化率。在高考复习中，掌握导数的应用是至关重要的，因为它与函数的极值、单调性、曲线的切线等相关。
1. **极值条件**：函数`f(x)`在某点`x=c`处有极值的必要条件是`f'(c)=0`，但不是充分条件。也就是说，如果`f'(x)`有一个实根，这并不意味着`f(x)`一定有极值。例如，函数`y=x^3`在`x=0`处导数为0，但没有极值。因此，选项A是正确的。
2. **极大值和极小值的判别**：对于三次函数`f(x)=x^3+ax^2+(a+6)x+1`，如果其有两个不同的实数根，意味着二次导数`f''(x)`有两个不同的零点，即函数`f(x)`有极大值和极小值。因此，`f'(x)=3x^2+2ax+(a+6)`的判别式`Δ>0`，解得`a`的取值范围为`(-∞,-3)∪(6,+∞)`，选项B正确。
3. **利用导数判断极值**：函数`f(x)`的导数`f'(x)`的图形可以帮助我们理解`f(x)`的单调性。如题目中，`y=x·f'(x)`的图像显示`f'(2)=f'(-2)=0`，并且在`(2, +∞)`和`(-∞, -2)`上导数`f'(x)`正，在`(-2, 2)`上导数负，表明`f(x)`在`x=-2`处有极大值，在`x=2`处有极小值，答案为C。
4. **导数与切线斜率**：若`f(x)=e^x+a·e^(-x)`，其导函数`f'(x)`是奇函数且切线斜率为``，则可以通过解方程`f'(x)`=``找到切点横坐标。计算得到`a=1`，再求解`ex-e^(-x)=`，得出切点横坐标`x0=ln2`，答案为A。
5. **极值点与二次函数图像**：函数`f(x)=ax^2+bx+c`的导数`f'(x)`决定了函数的极值情况。若`x=-1`是`f(x)e^x`的极值点，则`a=c`。通过分析每个选项中二次函数的开口方向、对称轴和极值点的位置，可以排除不满足条件的图像，答案为D。
6. **极值点的范围与函数值**：函数`f(x)=x^3+2bx^2+cx+1`有两个极值点`x1`和`x2`，它们是导数`f'(x)`的两个根。根据极值点的范围，可以确定系数`b`和`c`的关系，进而求得`f(-1)`的取值范围。利用不等式求解，得出`f(-1)`的范围为`[3,12]`，答案为C。
7. **求函数的最小值**：函数`f(x)=x^2-2ln x`的最小值可以通过求导找到。令导数`f'(x)=2x-2/x=0`，解得`x=1`。在`x=1`时，函数取得极小值，也是最小值，`f(1)=1`。
8. **极大值和极小值的存在条件**：函数`f(x)=x^3+3ax^2+3(a+2)x+1`有极大值和极小值，意味着它的二次导数`f''(x)`有两个不等实根。通过求解`f''(x)=6x+6a`的判别式，得到`a`的取值范围是`(-∞,-1)∪(2,+∞)`。
9. **切线与单调性**：函数`f(x)=mx^3+nx^2`在点`(−1,2)`处的切线与`3x+y=0`平行，这意味着切线斜率为-3，即`f'(-1)=-3`，同时`f(-1)=2`。由此可以建立关于`m`和`n`的方程组，进一步求出`f(x)`的单调性。由于`f(x)`在区间`t`到`t+1`上单调递减，所以`f'(x)`在这个区间内始终小于0，解出`t`的范围。
导数在高考数学复习中涉及的内容包括极值的判断与应用、导数与函数单调性的关系、利用导数求函数最值以及切线的性质。这些知识点要求学生具备扎实的导数计算基础，并能灵活运用导数的几何意义和代数意义解决问题。
