反比例函数是初中数学中的重要概念，主要涉及函数的图象和性质。在这个同步练习中，我们关注的是反比例函数的一般形式为 \( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是常数。
1. 反比例函数 \( xy = 6 \) 和 \( xy = 6 \) 的图象都是双曲线，它们分别位于第一和第三象限，因为当 \( x \) 和 \( y \) 都为正或负时，乘积保持为正。这些图象永远不会穿过坐标轴，且在每个象限内，当 \( x \) 增大时，\( y \) 减小，反之亦然。
2. 图象经过第一、三象限的反比例函数解析式可以是 \( y = \frac{1}{x} \)，因为 \( k > 0 \) 时，图象会通过这些象限。
3. 填空部分考察了反比例函数在不同象限的行为：
- 函数 \( xy = 3 \) 的图象在第一和第三象限，随着 \( x \) 增大，\( y \) 减小。
- 函数 \( xy = -4 \) 的图象在第二和第四象限，随着 \( x \) 增大，\( y \) 增大。
- 函数 \( y = \frac{2}{3x} \) 当 \( x > 0 \) 时，图象在第一象限，随着 \( x \) 增大，\( y \) 减小。
4. 反比例函数 \( y = \frac{3-m}{2x} \) 的图象在第二、四象限意味着 \( 3-m < 0 \)，即 \( m > 3 \)。在每个象限内，\( y \) 随 \( x \) 的增大而增大。
5. 过反比例函数 \( y = \frac{1}{x} \) 图象上的点 A、B 作垂线，由于反比例函数的对称性，AC 和 BD 相等，所以 \( S_1 = S_2 \)，选 B。
6. 函数 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大的反比例函数应该是 \( k < 0 \) 的情况，因此选项 D \( y = -\frac{3}{x} \) 符合。
7. 长方形面积为 12，所以 \( xy = 12 \)，这代表了反比例函数 \( xy = 12 \) 的图象，选择 B 图。
8. 当 \( x \) 减小时，\( y \) 增大的函数是反比例函数，所以选项 C \( y = -2x + 2 \) 不符合，因为它是线性函数，随着 \( x \) 减小，\( y \) 同样减小。
9. 函数 \( \frac{1}{mx}-\frac{1}{3} \) 与 \( \frac{1}{mx}-3 \) 在第一、三象限有交点，这意味着 \( m > 0 \) 且 \( \frac{1}{m} > 3 \)，解得 \( 0 < m < \frac{1}{3} \)。
10. 反比例函数 \( y = \frac{k}{x-3} \)：
- 第一、三象限：\( k > 0 \)，所以 \( k > 0 \)。
- 第二象限内，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大，说明 \( k < 0 \)，综合两个条件，无解。
11. 图象可能情况没有给出，但反比例函数 \( y = -ax + a \) 和 \( y = \frac{a}{x} \) 可以通过平移得到，所以两个函数图象可能会相交于第一、三象限。
中考链接题目主要考察反比例函数的图象与性质，以及与其他函数的交点问题，解答涉及反比例函数的解析式求解和图象分析。
反比例函数的关键在于理解 \( k \) 的符号如何影响图象的位置和性质，以及如何利用这些性质解决实际问题。通过练习，学生能更好地掌握反比例函数的概念，提高解题能力。
