一元二次不等式的解法是高中数学中的一个重要知识点,主要涉及一元二次方程的根与不等式解集的关系。以下是对给定题目中各个问题的详细解答:
1. 不等式 (x-t)(x-t1)<0 的解集取决于 t 和 t1 的大小关系。由于 0<t<1,t1 是 t 的倒数,所以 t1>t。因此,不等式的解集是 {x|t<x<t1}。
2. 不等式 20axxa(0a )无解意味着不等式的开口方向向上(因为 a<0),同时判别式小于等于0。解得 a 的取值范围是 1122aa,即选A。
3. 不等式 21mxmxm 的解集为 R,意味着不等式对所有实数 x 成立,这要求二次项系数 m<0,且判别式小于等于0。解得 m 的取值范围是 C. (, 0] 。
4. 题目中 U=R,集合 A 是 x>5/6 或 x<0 的解集,集合 B 是 x<a 且 a 是常数,因为 11∈B,所以 a<1。根据集合运算,A与B的补集的并集为全集R,所以选项A正确。
5. 不等式 2( )40f xaxax恒成立,意味着 f(x) 的开口向下(a<0)且判别式小于等于0,解得 a 的取值范围是 a≤-4。
6. 不等式 210axbx的解集为{x|x<1/2},说明 a>0,b/a=-1/2,a+b=0。
7. 函数22( )4422f xxaxaa在 [0, 2] 上的最小值是 3,由于 f(x) 的对称轴是 x=a/2,为了找到最小值,需要考虑 a/2 是否在 [0, 2] 内。若 a/2<0,最小值在 x=0 处取得;若 0≤a/2≤2,最小值在 a/2 处取得。由于最小值为 3,可解出 a 的值。
8. 不等式 ax^2+bx-1>0 的解集为{x|3<x<4},说明 a>0,且对应的一元二次方程 ax^2+bx-1=0 的根为3和4,由韦达定理得 a+b=3+4。
9. 集合 A={x|35xx≤-1},B={x|x≤a},A∩B=∅,说明集合A的上界必须大于集合B的最大值,即 a>35。
10. 当 a<0 时,不等式 05622aaxx 的解集为 x>5/6 或 x<0。
11. 当 a<0 时,不等式 01)1(2xaax 的解集为 x<1/(1-a) 或 x>a。
12. 对于二次函数 y=x^2+px+q,y<0 的解集为 -21<x<-31,所以对应的一元二次方程有两个根-21和-31,解不等式 qx^2+px+1>0,利用韦达定理可得解集。
13. 分别求解集合 A 和 B 中的不等式,然后求它们的并集和交集。
14. 对于不等式 ax^2+bx+c<0,解集为{x|x<m 或 x>n},其中 m<n<0,对于不等式 cx^2-bx+a>0,可以使用根的性质求解。
15. 集合 A 和 B 的定义中,A 的元素满足 x^2-4>0,B 的元素满足 2x^2+x-6>0,求 a 的取值范围使得 AB,即 A 包含于 B。
16. 若不等式 ax^2+bx+c<0 的解集为{x|x<m 或 x>n},m<n<0,不等式 cx^2-bx+a>0 的解集为{x|x>-n 或 x<-m}。
以上解答涵盖了高中数学中关于一元二次不等式的基本解法和应用,包括解不等式、确定参数范围、利用韦达定理解决问题等。这些知识点是学习高中数学和准备相关考试的关键内容。